ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

О случайных величинах \( x \) и \( y \) известно, что

\(
M(xy) = M(x)M(y).
\)

Докажите, что

\(
D(x+y) = D(x) + D(y).
\)

Известно, что: \( M(xy) = M(x)M(y); \)

\(
D(x+y) = M((x+y)^2) — (M(x+y))^2 =
\)
\(
= M(x^2 + 2xy + y^2) — (M(x) + M(y))^2 =
\)
\(
= M(x^2) + 2M(xy) + M(y^2) — (M(x) + M(y))^2 =
\)
\(
= M(x^2) + 2M(x)M(y) + M(y^2) — (M(x) + M(y))^2 =
\)
\(
= M(x^2) + M(y^2) — (M(x))^2 — (M(y))^2 = D(x) + D(y);
\)

Что и требовалось доказать.

Известно, что

\(
M(xy) = M(x)M(y).
\)

Рассмотрим дисперсию суммы случайных величин \( x \) и \( y \):

\(
D(x+y) = M((x+y)^2) — (M(x+y))^2.
\)

Раскроем квадрат в первом члене:

\(
D(x+y) = M(x^2 + 2xy + y^2) — (M(x+y))^2.
\)

Теперь выразим математическое ожидание суммы \( x+y \):

\(
M(x+y) = M(x) + M(y).
\)

Подставим это в уравнение:

\(
D(x+y) = M(x^2 + 2xy + y^2) — (M(x) + M(y))^2.
\)

Теперь применим свойство линейности математического ожидания к \( M(x^2 + 2xy + y^2) \):

\(
D(x+y) = M(x^2) + M(2xy) + M(y^2) — (M(x) + M(y))^2.
\)

Так как \( M(2xy) = 2M(xy) \), мы можем переписать уравнение как:

\(
D(x+y) = M(x^2) + 2M(xy) + M(y^2) — (M(x) + M(y))^2.
\)

Теперь подставим известное значение для \( M(xy) \):

\(
D(x+y) = M(x^2) + 2M(x)M(y) + M(y^2) — (M(x) + M(y))^2.
\)

Раскроем квадрат во втором члене:

\(
(M(x) + M(y))^2 = (M(x))^2 + 2M(x)M(y) + (M(y))^2.
\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\(
D(x+y) = M(x^2) + 2M(x)M(y) + M(y^2) — ((M(x))^2 + 2M(x)M(y) +
\)
\(
+ (M(y))^2).
\)

Сократим одинаковые члены:

\(
D(x+y) = M(x^2) + M(y^2) — (M(x))^2 — (M(y))^2.
\)

По определению дисперсии, мы имеем:

\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2,
\)
\(
D(y) = M(y^2) — (M(y))^2.
\)

Таким образом, можем выразить \( D(x+y) \):

\(
D(x+y) = D(x) + D(y).
\)

Что и требовалось доказать.