ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
M((x + M(x))^2) = M(x^2) + 3(M(x))^2.
\)

Доказать равенство:

\(
M\left((x + M(x))^2\right) = M\left(x^2 + 2xM(x) + (M(x))^2\right) =
\)
\(
= M(x^2) + M(2xM(x)) + M((M(x))^2) =
\)
\(
= M(x^2) + 2M(x) \cdot M(x) + (M(x))^2 \cdot 1 =
\)
\(
= M(x^2) + 2(M(x))^2 + (M(x))^2 = M(x^2) + 3(M(x))^2;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\(
M\left((x + M(x))^2\right) = M\left(x^2 + 2xM(x) + (M(x))^2\right).
\)

Сначала раскроем квадрат в левой части:

\(
(x + M(x))^2 = x^2 + 2xM(x) + (M(x))^2.
\)

Теперь подставим это в математическое ожидание:

\(
M\left((x + M(x))^2\right) = M\left(x^2 + 2xM(x) + (M(x))^2\right).
\)

Используя линейность математического ожидания, получаем:

\(
M\left(x^2 + 2xM(x) + (M(x))^2\right) = M(x^2) + M(2xM(x)) + M((M(x))^2).
\)

Теперь рассмотрим каждый из членов. Для второго члена \( M(2xM(x)) \):

\(
M(2xM(x)) = 2M(x) \cdot M(M(x)).
\)

Поскольку \( M(M(x)) = M(x) \), мы можем упростить это выражение до:

\(
M(2xM(x)) = 2M(x) \cdot M(x).
\)

Теперь рассмотрим третий член \( M((M(x))^2) \). Поскольку это константа по отношению к \( x \), мы имеем:

\(
M((M(x))^2) = (M(x))^2 \cdot 1.
\)

Теперь подставим все эти результаты обратно в уравнение:

\(
M\left((x + M(x))^2\right) = M(x^2) + 2M(x) \cdot M(x) + (M(x))^2.
\)

Таким образом, мы можем объединить подобные члены:

\(
= M(x^2) + 2(M(x))^2 + (M(x))^2.
\)

Теперь объединим \( 2(M(x))^2 \) и \( (M(x))^2 \):

\(
= M(x^2) + 3(M(x))^2.
\)

Что и требовалось доказать.