ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Каждый из 24 учащихся класса наугад называет натуральное число до 10 включительно. Найдите математическое ожидание суммы названных чисел.

Загадывают натуральное число:
\(
x = (1; 10) \) — на интервале;
\(
n = 24 \) — количество человек.

1) Ожидается, что загадано число:
\(
M(x) = \frac{1 + 2 + 3 + \ldots + 10}{10}.
\)
Сумма чисел от 1 до 10 равна:
\(
\frac{10 \cdot (10 + 1)}{2} = 55.
\)
Тогда:
\(
M(x) = \frac{55}{10} = 5,5.
\)

2) Ожидаемая сумма чисел:
\(
M(n \cdot x) = n \cdot M(x).
\)
Подставим значения:
\(
M(n \cdot x) = 24 \cdot 5,5 = 132.
\)

Ответ: \(
132
\).

Загадывают натуральное число.

Даны следующие параметры:
\(
x = (1; 10) \quad \text{— интервал возможных значений числа};
\)
\(
n = 24 \quad \text{— количество человек, загадывающих число}.
\)

Рассмотрим расчет по этапам:

1) Найдем ожидаемое значение загаданных чисел.

Математическое ожидание для равномерного распределения на интервале \(
(1; 10)
\) вычисляется как среднее арифметическое всех чисел в этом интервале:
\(
M(x) = \frac{\text{сумма всех чисел в интервале}}{\text{количество чисел в интервале}}.
\)

Сначала найдем сумму всех чисел от 1 до 10. Эта сумма вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:
\(
\text{Сумма} = \frac{\text{количество чисел} \cdot (\text{первое число} + \text{последнее число})}{2}.
\)
Подставим значения:
\(
\text{Сумма} = \frac{10 \cdot (1 + 10)}{2}.
\)
Вычислим:
\(
\text{Сумма} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55.
\)

Теперь найдем математическое ожидание:
\(
M(x) = \frac{55}{10}.
\)
Вычислим:
\(
M(x) = 5,5.
\)

Таким образом, ожидаемое значение числа, которое загадывает один человек, равно \(
5,5
\).

2) Найдем ожидаемую сумму чисел, загаданных всеми людьми.

Если число загадывают \(
n = 24
\) человек, то ожидаемая сумма всех загаданных чисел равна произведению количества людей на математическое ожидание одного числа:
\(
M(n \cdot x) = n \cdot M(x).
\)

Подставим значения:
\(
M(n \cdot x) = 24 \cdot 5,5.
\)
Вычислим:
\(
M(n \cdot x) = 132.
\)

Таким образом, ожидаемая сумма чисел, загаданных всеми людьми, равна \(
132
\).

Ответ:
\(
132.
\)