ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть случайная величина \( X \) имеет математическое ожидание

\(
M(X) = 0.
\)

Докажите, что выполняется неравенство

\(
M(|X|) < \frac{D(X) + 1}{2},
\)

где \( D(X) \) — дисперсия случайной величины \( X \).

Дана величина \( x \):
\(
M(x) = 0.
\)

1) Дисперсия значений:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2;
\)
Подставим:
\(
D(x) = M(x^2) — 0^2;
\)
Следовательно:
\(
M(x^2) = D(x).
\)

2) Докажем равенство:
\(
M(|x|) \leq \frac{D(x) + 1}{2}.
\)
Умножим обе стороны на 2:
\(
2M(|x|) \leq M(x^2) + 1.
\)
Перенесем влево:
\(
M(x^2 + 1 — 2|x|) \geq 0.
\)
Запишем в виде квадрата:
\(
M((|x| — 1)^2) \geq 0.
\)

Что и требовалось доказать.

Дана величина \( x \):
\(
M(x) = 0.
\)
Это означает, что математическое ожидание величины \( x \) равно нулю.

1) Найдем дисперсию значений величины \( x \).

Формула для расчета дисперсии случайной величины \( x \) имеет вид:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2.
\)
Подставим значение \( M(x) = 0 \) в формулу:
\(
D(x) = M(x^2) — 0^2.
\)
Так как \( 0^2 = 0 \), то:
\(
D(x) = M(x^2).
\)
Следовательно, математическое ожидание квадрата величины \( x \) равно её дисперсии:
\(
M(x^2) = D(x).
\)

2) Докажем неравенство:
\(
M(|x|) \leq \frac{D(x) + 1}{2}.
\)

Умножим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:
\(
2M(|x|) \leq D(x) + 1.
\)
Так как \( D(x) = M(x^2) \), подставим это значение:
\(
2M(|x|) \leq M(x^2) + 1.
\)

Перенесем все выражение влево, чтобы получить неотрицательность математического ожидания:
\(
M(x^2 + 1 — 2|x|) \geq 0.
\)

Теперь преобразуем выражение внутри математического ожидания. Заметим, что оно является квадратом:
\(
x^2 + 1 — 2|x| = (|x| — 1)^2.
\)

Следовательно, неравенство принимает вид:
\(
M((|x| — 1)^2) \geq 0.
\)

Поскольку квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю, то математическое ожидание квадрата также больше либо равно нулю:
\(
M((|x| — 1)^2) \geq 0.
\)

Таким образом, доказано, что:
\(
M(|x|) \leq \frac{D(x) + 1}{2}.
\)

Что и требовалось доказать.