ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:
\(
M(x) = 0.
\)
Требуется доказать:
\(
M(|x|) < D(x) + \frac{1}{4}.
\)

Дана величина \( x \):
\(
M(x) = 0.
\)

1) Дисперсия значений:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2;
\)
Подставим:
\(
D(x) = M(x^2) — 0^2;
\)
Следовательно:
\(
M(x^2) = D(x).
\)

2) Докажем равенство:
\(
M(|x|) \leq D(x) + z;
\)
\(
M(|x|) \leq M(x^2) + z;
\)
\(
M(x^2 — |x| + 1) \geq 0.
\)

Что и требовалось доказать.

Дана величина \( x \):
\(
M(x) = 0.
\)
Это означает, что математическое ожидание случайной величины \( x \) равно нулю.

1) Найдем дисперсию значений случайной величины \( x \).

Формула для расчета дисперсии случайной величины \( x \) имеет вид:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2.
\)
Подставим значение \( M(x) = 0 \) в формулу:
\(
D(x) = M(x^2) — 0^2.
\)
Так как \( 0^2 = 0 \), то:
\(
D(x) = M(x^2).
\)
Следовательно, математическое ожидание квадрата случайной величины \( x \) равно её дисперсии:
\(
M(x^2) = D(x).
\)

2) Докажем неравенство:
\(
M(|x|) \leq D(x) + z.
\)

С учетом того, что \( D(x) = M(x^2) \), перепишем неравенство:
\(
M(|x|) \leq M(x^2) + z.
\)

Перенесем все выражение влево, чтобы получить неотрицательность математического ожидания:
\(
M(x^2 — |x| + 1) \geq 0.
\)

Теперь преобразуем выражение внутри математического ожидания:
\(
M((|x| — 1)^2) \geq 0.
\)

Так как квадрат любой величины не может быть отрицательным, то:
\(
M((|x| — 1)^2) \geq 0.
\)

Таким образом, доказано, что:
\(
M(|x|) \leq D(x) + z.
\)

Что и требовалось доказать.