ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Друзья собрались праздновать Новый год. Каждый из компании подготовил один подарок. Все подарки сложили в мешок Деда Мороза и перемешали. За участие в конкурсах каждому из друзей досталось по одному подарку, выбранному случайным образом из мешка Деда Мороза. Чему равно математическое ожидание количества друзей, которым достался собственный подарок?

Пусть собралось \( n \) друзей:
\( x_i = 1 \) — вытащил свой подарок;
\( x_i = 0 \) — вытащил чужой подарок;

1) Для одного человека:
\(
M(x) = p = \frac{1}{n};
\)

2) Ожидание для всех друзей:
\(
M(nx) = n \cdot M(x) = n \cdot \frac{1}{n} = 1;
\)

Ответ: 1.

Пусть собралось \( n \) друзей. Каждый друг случайным образом вытаскивает один подарок. Обозначим случайную величину \( x_i \):
\(
x_i = 1 \quad \text{если друг вытащил свой подарок};
\)
\(
x_i = 0 \quad \text{если друг вытащил чужой подарок}.
\)

1) Для одного человека:

Математическое ожидание случайной величины \( x_i \) можно найти по формуле:
\(
M(x_i) = P(x_i = 1),
\)
где \( P(x_i = 1) \) — вероятность того, что друг вытащил свой подарок.

Так как всего \( n \) друзей и каждый друг вытаскивает один подарок, вероятность того, что друг вытащит свой подарок, равна:
\(
P(x_i = 1) = \frac{1}{n}.
\)

Следовательно, математическое ожидание для одного человека:
\(
M(x_i) = \frac{1}{n}.
\)

2) Ожидание для всех друзей:

Рассмотрим сумму случайных величин \( nx = \sum_{i=1}^n x_i \), которая обозначает количество друзей, вытащивших свои подарки.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
\(
M(nx) = M\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) = \sum_{i=1}^n M(x_i).
\)

Так как математическое ожидание для каждого друга одинаково и равно \( \frac{1}{n} \), то:
\(
M(nx) = n \cdot M(x_i).
\)

Подставим значение \( M(x_i) = \frac{1}{n} \):
\(
M(nx) = n \cdot \frac{1}{n}.
\)

Выполним вычисление:
\(
M(nx) = 1.
\)

Таким образом, математическое ожидание количества друзей, вытащивших свои подарки, равно 1.

Ответ:
\(
1.
\)