ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( x \) принимает только положительные значения.

Требуется доказать:
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right) > 1.
\)

Дана величина: \( x > 0 \);

1) Рассмотрим функцию:
\(
f(t) = M(x)t^2 — 2t + M\left(\frac{1}{x}\right) = M\left(xt^2 — 2t + \frac{1}{x}\right);
\)
\(
f(t) = M\left((xt — 1)^2\right) \geq 0.
\)

2) Если \( t = M(x) \), тогда:
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right)t^2 — 2M(x)t + 1 + M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0;
\)
\(
M(x) \cdot \left(M\left(\frac{1}{x}\right)t^2 — M(x)\right) \geq 0;
\)
\(
M\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right) — 1\right) \geq 0;
\)
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right) — 1 \geq 0, \quad M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0.
\)

Следовательно:
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 1.
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \( x \), которая принимает только положительные значения:
\(
x > 0.
\)

1) Рассмотрим функцию \( f(t) \), которая зависит от параметра \( t \):
\(
f(t) = M(x)t^2 — 2t + M\left(\frac{1}{x}\right).
\)

Функция \( f(t) \) представляет собой математическое ожидание выражения:
\(
f(t) = M\left(xt^2 — 2t + \frac{1}{x}\right).
\)

Заметим, что выражение внутри математического ожидания можно переписать в виде квадрата:
\(
f(t) = M\left((xt — 1)^2\right).
\)

Так как квадрат любой величины всегда неотрицателен, то:
\(
f(t) = M\left((xt — 1)^2\right) \geq 0.
\)

2) Пусть параметр \( t \) равен математическому ожиданию случайной величины \( x \), то есть:
\(
t = M(x).
\)

Подставим значение \( t \) в функцию \( f(t) \):
\(
f(M(x)) = M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right)(M(x))^2 — 2M(x)^2 + 1 + M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0.
\)

Упростим выражение:
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right)(M(x))^2 — M(x)^2 + 1 + M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0.
\)

Переносим и группируем члены:
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right) — 1 \geq 0, \quad M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 0.
\)

Следовательно, из неотрицательности функции:
\(
M(x) \cdot M\left(\frac{1}{x}\right) \geq 1.
\)

Что и требовалось доказать.