ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вероятность наступления события \( A \) в одном испытании равна \( p \).

Проводится серия из \( n \) испытаний, в которой подсчитывается частота события \( A \):
\(
x_n = \frac{n_A}{n},
\)
где \( n_A \) — количество испытаний, в которых произошло событие \( A \).

Требуется доказать, что математическое ожидание частоты \( x_n \) равно вероятности события \( A \):
\(
M(x_n) = p.
\)

Вероятность события \( A \) равна \( p \);
Проводят серию из \( n \) испытаний:
\(
x_n = \frac{n_A}{n} = \frac{x}{n};
\)

Величина \( x = n_A \) распределена по биноминальному закону:
\(
M(x_n) = M\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n} M(x);
\)

\(
M(x_n) = \frac{p n}{n} = p;
\)

Что и требовалось доказать.

Вероятность события \( A \) равна \( p \). Проводят серию из \( n \) испытаний:
\(
x_n = \frac{n_A}{n} = \frac{x}{n};
\)

Величина \( x = n_A \) распределена по биноминальному закону.

Математическое ожидание частоты \( x_n \) можно выразить через математическое ожидание \( x \):
\(
M(x_n) = M\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n} M(x);
\)

Так как \( x \) — это количество испытаний, в которых произошло событие \( A \), то оно распределено по биномиальному закону с параметрами \( n \) и \( p \). Для биномиального распределения математическое ожидание числа успехов \( x \) равно \( n \cdot p \):
\(
M(x) = n \cdot p;
\)

Подставляя это значение в выражение для \( M(x_n) \), получаем:
\(
M(x_n) = \frac{1}{n} M(x) = \frac{1}{n} \cdot (n \cdot p) = p;
\)

Таким образом, математическое ожидание частоты \( x_n \) равно вероятности события \( A \):
\(
M(x_n) = p;
\)

Что и требовалось доказать.