ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Равносильны ли следующие уравнения:

1)
\(
x — 5 = 0 \quad \text{и} \quad x(x — 5) = 0;
\)

2)
\(
x + 2 = 2 + x \quad \text{и} \quad \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} = 1;
\)

3)
\(
\frac{x — 3}{x — 3} = 1 \quad \text{и} \quad x = x;
\)

4)
\(
\frac{x^2 — 4}{x + 2} = 0 \quad \text{и} \quad x — 2 = 0;
\)

5)
\(
\frac{x^2 — 25}{x + 2} = 0 \quad \text{и} \quad x^2 — 25 = 0;
\)

6)
\(
\sqrt{(x + 2)^2} = 2x + 5 \quad \text{и} \quad x + 2 = 2x + 5;
\)

7)
\(
\sqrt{(x — 1)(x — 3)} = 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 3} = 0;
\)

8)
\(
\sin(x) = 2 \quad \text{и} \quad 2^x = -1;
\)

9)
\(
\sin(x) = 0 \quad \text{и} \quad \cos(x) = 1;
\)

10)
\(
\cos(x) = 0 \quad \text{и} \quad \sin^2(x) = 1;
\)

11)
\(
\frac{1 — \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)} = -1 \quad \text{и} \quad \cos(2x) = -1;
\)

12)
\(
\log_3(x^2) = 2 \quad \text{и} \quad \log_3(x) = 1;
\)

13)
\(
\log_5(x^2 — 1) = \log_5(x — 1) \quad \text{и} \quad \log_5(x + 1) = 0;
\)

14)
\(
\frac{\log_x(x + 1)}{\log_x(2)} = 1 \quad \text{и} \quad \log_2(x + 1) = 1.
\)

Равносильны ли уравнения:

1)
\(
x — 5 = 0, \quad x(x — 5) = 0;
\)
Первое уравнение:
\(
x = 5;
\)
Второе уравнение:
\(
x_1 = 0, \quad x_5 = 5;
\)
Ответ: нет.

2)
\(
x + 2 = 2 + x, \quad \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} = 1;
\)
Первое уравнение:
\(
0x = 0, \quad x \in \mathbb{R};
\)
Второе уравнение:
\(
x^2 + 2 \neq 0, \quad x \in \mathbb{R};
\)
Ответ: да.

3)
\(
\frac{x — 3}{x — 3} = 1, \quad x = x;
\)
Первое уравнение:
\(
x — 3 \neq 0, \quad x \neq 3;
\)
Второе уравнение:
\(
x \in \mathbb{R};
\)
Ответ: нет.

4)
\(
\frac{x^2 — 4}{x + 2} = 0, \quad x — 2 = 0;
\)
Первое уравнение:
\(
\frac{(x + 2)(x — 2)}{x + 2} = 0;
\)
\(
x — 2 = 0;
\)
Ответ: да.

5)
\(
\frac{x^2 — 25}{x + 2} = 0, \quad x^2 — 25 = 0;
\)
Первое уравнение:
\(
\frac{(x — 5)(x + 5)}{x + 2} = 0; \quad (x — 5)(x + 5) = 0; \quad x^2 — 25 = 0;
\)
Ответ: да.

6)
\(
(\sqrt{x + 2})^2 = 2x + 5, \quad x + 2 = 2x + 5;
\)
Первое уравнение:
\(
|x + 2| = 2x + 5;
\)
\(
-x — 2 = 2x + 5, \quad x + 2 = 2x + 5;
\)
Ответ: нет.

7)
\(
\sqrt{(x — 1)(x — 3)} = 0, \quad \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 3} = 0;
\)
Первое уравнение:
\(
(x — 1)(x — 3) = 0; \quad x_1 = 1, \quad x_2 = 3;
\)
Второе уравнение:
\(
(x — 1)(x — 3) = 0; \quad x_1 = 1, \quad x_2 = 3; \quad x \geq 1, \quad x \geq 3; \quad x = 3;
\)
Ответ: нет.

8)
\(
\sin x = 2, \quad 2^x = -1;
\)
Первое уравнение:
\(
\text{решений нет};
\)
Второе уравнение:
\(
\text{решений нет};
\)
Ответ: да.

—

9)
\(
\sin x = 0, \quad \cos x = 1;
\)
Первое уравнение:
\(
\sin x = 0;
\)
\(
x = \pi n;
\)
Второе уравнение:
\(
x = 2 \pi n;
\)
Ответ: нет.

10)
\(
\cos x = 0, \quad \sin^2 x = 1;
\)
Первое уравнение:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Второе уравнение:
\(
\sin x = \pm 1;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Ответ: да.

11)
\(
\frac{1 — \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = -1, \quad \cos 2x = -1;
\)
Первое уравнение:
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
2x \neq \pi + 2 \pi n;
\)
\(
\cos 2x \neq -1;
\)
Ответ: нет.

12)
\(
\log_3 x^2 = 2, \quad \log_3 x = 1;
\)
Первое уравнение:
\(
2 \log_3 |x| = 2;
\)
\(
\log_3 |x| = 1;
\)

\(
|x| = 3;
\)
\(
x = \pm 3;
\)
Второе уравнение:
\(
\log_3 x = 1;
\)
\(
x = 3;
\)
Ответ: нет.

13)
\(
\log_5 (x^2 — 1) = \log_5 (x — 1), \quad \log_5 (x + 1) = 0;
\)

Первое уравнение:
\(
\log_5 (x — 1)(x + 1) = \log_5 (x — 1);
\)
\(
\log_5 (x — 1) + \log_5 (x + 1) = \log_5 (x — 1);
\)
\(
\log_5 (x + 1) = 0, \quad x — 1 > 0;
\)
\(
x + 1 = 1, \quad x > 1;
\)
\(
\text{решений нет};
\)

Второе уравнение:
\(
\log_5 (x + 1) = 0;
\)
\(
x + 1 = 1;
\)
\(
x = 0;
\)

Ответ: нет.

14)
\(
\frac{\log_x (x + 1)}{\log_x 2} = 1, \quad \log_2 (x + 1) = 1;
\)

Первое уравнение:
\(
\log_2 (x + 1) = 1, \quad x > 0, \quad x \neq 1;
\)
\(
x + 1 = 2, \quad x = 1, \quad \text{решений нет};
\)

Второе уравнение:
\(
\log_2 (x + 1) = 1, \quad x > -1;
\)
\(
x + 1 = 2, \quad x = 1;
\)

Ответ: нет.

1)
\(
x — 5 = 0, \quad x(x — 5) = 0;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
x — 5 = 0.
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = 5.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
x(x — 5) = 0.
\)
Это уравнение имеет два множителя, и оно равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы имеем два случая:

1. \( x = 0 \)
2. \( x — 5 = 0 \), что приводит к \( x = 5 \)

Таким образом, решения второго уравнения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет одно решение:
\(
x = 5.
\)

Второе уравнение имеет два решения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение имеет только одно решение, а второе — два.

2)
\(
x + 2 = 2 + x, \quad \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} = 1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
x + 2 = 2 + x.
\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(
x + 2 — 2 — x = 0.
\)
Упрощая, получаем:
\(
0 = 0.
\)
Это равенство верно для любого значения \( x \), следовательно, первое уравнение имеет бесконечно много решений:
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} = 1.
\)
Для того чтобы это уравнение было верным, необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю. Таким образом, мы имеем условие:
\(
x^2 + 2 \neq 0.
\)
Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, то \( x^2 + 2 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Следовательно, второе уравнение также истинно для всех значений \( x \), и мы можем записать:
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет бесконечно много решений:
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

Второе уравнение также имеет бесконечно много решений:
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

Ответ: да, уравнения равносильны.

3)
\(
\frac{x — 3}{x — 3} = 1, \quad x = x;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\frac{x — 3}{x — 3} = 1.
\)
Это уравнение имеет смысл только при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, необходимо, чтобы:
\(
x — 3 \neq 0.
\)
Это приводит к условию:
\(
x \neq 3.
\)

Если \( x \neq 3 \), то мы можем упростить первое уравнение:
\(
1 = 1,
\)
что является верным для всех \( x \neq 3 \). Таким образом, первое уравнение имеет решения:
\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 3.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
x = x.
\)
Это равенство верно для любого значения \( x \), следовательно, второе уравнение имеет бесконечно много решений:
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решения:
\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 3.
\)

Второе уравнение имеет бесконечно много решений:
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение не допускает \( x = 3 \), в то время как второе уравнение истинно для всех \( x \).

4)
\(
\frac{x^2 — 4}{x + 2} = 0, \quad x — 2 = 0;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\frac{x^2 — 4}{x + 2} = 0.
\)
Это уравнение равно нулю, если числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, необходимо решить уравнение:
\(
x^2 — 4 = 0.
\)
Факторизуем его:
\(
(x — 2)(x + 2) = 0.
\)
Это уравнение имеет два решения:
\(
x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2,
\)
\(
x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\)

Однако, необходимо проверить, что знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен нулю, когда:
\(
x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\)
Таким образом, значение \( x = -2 \) не допускается. Следовательно, единственным решением первого уравнения является:
\(
x = 2.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
x — 2 = 0.
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = 2.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решение:
\(
x = 2.
\)

Второе уравнение также имеет решение:
\(
x = 2.
\)

Ответ: да, уравнения равносильны, так как оба имеют одинаковое решение.

5)
\(
\frac{x^2 — 25}{x + 2} = 0, \quad x^2 — 25 = 0;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\frac{x^2 — 25}{x + 2} = 0.
\)
Это уравнение равно нулю, если числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, необходимо решить уравнение:
\(
x^2 — 25 = 0.
\)
Факторизуем его:
\(
(x — 5)(x + 5) = 0.
\)
Это уравнение имеет два решения:
\(
x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5,
\)
\(
x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5.
\)

Теперь необходимо проверить, что знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен нулю, когда:
\(
x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\)
Оба найденных решения \( x = 5 \) и \( x = -5 \) не равны \( -2 \), следовательно, оба решения допустимы. Таким образом, решения первого уравнения:
\(
x = 5, \quad x = -5.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
x^2 — 25 = 0.
\)
Факторизуем его так же, как и в первом уравнении:
\(
(x — 5)(x + 5) = 0.
\)
Это уравнение также имеет два решения:
\(
x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5,
\)
\(
x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решения:
\(
x = 5, \quad x = -5.
\)

Второе уравнение также имеет решения:
\(
x = 5, \quad x = -5.
\)

Ответ: да, уравнения равносильны.

6)
\(
(\sqrt{x + 2})^2 = 2x + 5, \quad x + 2 = 2x + 5;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
(\sqrt{x + 2})^2 = 2x + 5.
\)
Поскольку квадрат корня равен выражению под корнем, мы можем записать:
\(
x + 2 = 2x + 5.
\)
Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:
\(
x + 2 — 2x — 5 = 0.
\)
Упрощая, получаем:
\(
-x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3.
\)

Теперь необходимо проверить, подходит ли найденное значение \( x = -3 \) к исходному уравнению. Подставим его в уравнение:
\(
\sqrt{-3 + 2} = \sqrt{-1},
\)
что не имеет смысла в действительных числах. Таким образом, первое уравнение не имеет решений.

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
x + 2 = 2x + 5.
\)
Переносим все члены на одну сторону:
\(
x + 2 — 2x — 5 = 0.
\)
Упрощая, получаем:
\(
-x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3.
\)

Теперь проверим это решение. Подставим \( x = -3 \) в исходное уравнение:
\(
-3 + 2 = -1,
\)
что также не имеет смысла в контексте второго уравнения.

Теперь подведем итог:

Первое уравнение не имеет решений.

Второе уравнение также не имеет решений, так как найденное значение \( x = -3 \) не удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.

7)
\(
\sqrt{(x — 1)(x — 3)} = 0, \quad \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 3} = 0;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\sqrt{(x — 1)(x — 3)} = 0.
\)
Корень равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю. Таким образом, мы можем записать:
\(
(x — 1)(x — 3) = 0.
\)
Это уравнение имеет два множителя, и оно равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы имеем два случая:

1. \( x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 \)
2. \( x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 3 \)

Таким образом, решения первого уравнения:
\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 3.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 3} = 0.
\)
Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем записать два случая:

1. \( \sqrt{x — 1} = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 \)
2. \( \sqrt{x — 3} = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 3 \)

Таким образом, решения второго уравнения также:
\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 3.
\)

Однако, необходимо учитывать область определения корней. Для того чтобы оба корня были определены, должно выполняться следующее:
\(
x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1,
\)
\(
x — 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3.
\)

Таким образом, для второго уравнения действительным будет только:
\(
x = 3.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решения:
\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 3.
\)

Второе уравнение имеет решение:
\(
x = 3.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение допускает \( x = 1 \), а второе — только \( x = 3 \).

8)
\(
\sin x = 2, \quad 2^x = -1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\sin x = 2.
\)
Значение функции синуса находится в диапазоне от \(-1\) до \(1\) для всех действительных \(x\). Поскольку \(2\) выходит за пределы этого диапазона, уравнение не имеет решений. Таким образом, можем записать:
\(
\text{решений нет}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
2^x = -1.
\)
Функция \(2^x\) также всегда положительна для всех действительных \(x\) (поскольку основание больше нуля). Следовательно, уравнение не имеет решений, так как правая часть равенства \(-1\) не может быть достигнута. Таким образом, можем записать:
\(
\text{решений нет}.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение не имеет решений:
\(
\text{решений нет}.
\)

Второе уравнение также не имеет решений:
\(
\text{решений нет}.
\)

Ответ: да, оба уравнения не имеют решений.

9)
\(
\sin x = 0, \quad \cos x = 1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\sin x = 0.
\)
Синус равен нулю на интервалах, определяемых формулой:
\(
x = \pi n,
\)
где \( n \) — любое целое число. Таким образом, решения первого уравнения:
\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\cos x = 1.
\)
Косинус равен единице на интервалах, определяемых формулой:
\(
x = 2 \pi n,
\)
где \( n \) — любое целое число. Таким образом, решения второго уравнения:
\(
x = 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решения:
\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Второе уравнение имеет решения:
\(
x = 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение имеет больше решений, чем второе.

10)
\(
\cos x = 0, \quad \sin^2 x = 1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\cos x = 0.
\)
Косинус равен нулю на интервалах, определяемых формулой:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n,
\)
где \( n \) — любое целое число. Таким образом, решения первого уравнения:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\sin^2 x = 1.
\)
Это уравнение эквивалентно тому, что синус равен ±1. То есть:
\(
\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -1.
\)
Синус равен единице, когда:
\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,
\)
а синус равен минус единице, когда:
\(
x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.
\)

Однако, можно объединить оба случая, так как оба они приводят к тому, что синус принимает значения ±1. Таким образом, в общем виде можно записать:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n,
\)
где \( n \) — любое целое число.

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решения:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Второе уравнение также имеет решения:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Ответ: да, оба уравнения имеют одинаковые решения.

11)
\(
\frac{1 — \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = -1, \quad \cos 2x = -1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\frac{1 — \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = -1.
\)
Для того чтобы это равенство было верным, необходимо, чтобы числитель равнялся \(-1\) умноженному на знаменатель. Таким образом, мы можем записать:
\(
1 — \tan^2 x = — (1 + \tan^2 x).
\)
Упрощая, получаем:
\(
1 — \tan^2 x = -1 — \tan^2 x.
\)
Переносим все члены на одну сторону:
\(
1 + 1 = \tan^2 x — \tan^2 x.
\)
Таким образом, получаем:
\(
2 = 0,
\)
что является противоречием. Это означает, что данное уравнение не имеет решений. Однако необходимо также учитывать ограничения на \(x\):
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n,
\)
где \( n \) — любое целое число, чтобы избежать неопределенности в функции тангенса.

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\cos 2x = -1.
\)
Косинус равен \(-1\) на интервалах, определяемых формулой:
\(
2x = \pi + 2\pi n,
\)
где \( n \) — любое целое число. Это приводит к:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Однако это значение совпадает с ограничением из первого уравнения, что делает его недопустимым. Таким образом, у нас есть дополнительные ограничения:
\(
2x \neq \pi + 2\pi n.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение не имеет решений, но имеет ограничения:
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Второе уравнение также не имеет решений, так как его решения совпадают с ограничениями первого уравнения.

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение не имеет решений, а второе имеет решения, которые недопустимы.

12)
\(
\log_3 x^2 = 2, \quad \log_3 x = 1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\log_3 x^2 = 2.
\)
Согласно свойствам логарифмов, мы можем записать это уравнение как:
\(
2 \log_3 |x| = 2.
\)
Теперь делим обе стороны на \(2\):
\(
\log_3 |x| = 1.
\)
Это уравнение можно переписать в экспоненциальной форме:
\(
|x| = 3.
\)
Таким образом, мы получаем два возможных решения:
\(
x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\log_3 x = 1.
\)
Это уравнение в экспоненциальной форме выглядит так:
\(
x = 3.
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение имеет решения:
\(
x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3.
\)

Второе уравнение имеет единственное решение:
\(
x = 3.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение имеет два решения, а второе — только одно.

13)
\(
\log_5 (x^2 — 1) = \log_5 (x — 1), \quad \log_5 (x + 1) = 0;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\log_5 (x^2 — 1) = \log_5 (x — 1).
\)
Согласно свойству логарифмов, если логарифмы равны, то их аргументы также равны, при условии, что они положительны. Таким образом, мы можем записать:
\(
x^2 — 1 = x — 1.
\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(
x^2 — x = 0.
\)
Факторизуем уравнение:
\(
x(x — 1) = 0.
\)
Это уравнение имеет два решения:
\(
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1.
\)

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти решения условию \(x — 1 > 0\), необходимому для логарифма \(\log_5 (x — 1)\).

1. Для \(x = 0\):
\(
x — 1 = -1 \quad (\text{не подходит}).
\)

2. Для \(x = 1\):
\(
x — 1 = 0 \quad (\text{не подходит}).
\)

Таким образом, оба решения не удовлетворяют условию, и можно записать:
\(
\text{решений нет}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\log_5 (x + 1) = 0.
\)
Это уравнение в экспоненциальной форме выглядит так:
\(
x + 1 = 1.
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = 0.
\)

Теперь проверим, удовлетворяет ли это решение условию \(x + 1 > 0\):
Для \(x = 0\):
\(
x + 1 = 1 \quad (\text{подходит}).
\)

Теперь подведем итог:

Первое уравнение не имеет решений:
\(
\text{решений нет}.
\)

Второе уравнение имеет решение:
\(
x = 0.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение не имеет решений, а второе — одно решение.

14)
\(
\frac{\log_x (x + 1)}{\log_x 2} = 1, \quad \log_2 (x + 1) = 1;
\)

Рассмотрим первое уравнение:
\(
\frac{\log_x (x + 1)}{\log_x 2} = 1.
\)
Умножим обе стороны на \(\log_x 2\):
\(
\log_x (x + 1) = \log_x 2.
\)
Согласно свойству логарифмов, если логарифмы равны, то их аргументы также равны, при условии, что они положительны. Таким образом, можем записать:
\(
x + 1 = 2.
\)
Решая это уравнение, получаем:
\(
x = 1.
\)

Однако необходимо учитывать ограничения на \(x\):
— \(x > 0\) (логарифм определён только для положительных оснований),
— \(x \neq 1\) (основание логарифма не может быть равно единице).

Таким образом, решение \(x = 1\) не подходит, и можно записать:
\(
\text{решений нет}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\log_2 (x + 1) = 1.
\)
В экспоненциальной форме это уравнение выглядит так:
\(
x + 1 = 2.
\)
Решая, получаем:
\(
x = 1.
\)

Проверим условие области определения:
\(
x + 1 > 0,
\)
для \(x=1\) это верно.

Итак, решение второго уравнения:
\(
x = 1.
\)

Подведём итог:

Первое уравнение не имеет решений:
\(
\text{решений нет}.
\)

Второе уравнение имеет решение:
\(
x = 1.
\)

Ответ: нет, уравнения не равносильны, так как первое уравнение не имеет решений, а второе — имеет.