ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\sqrt{16 — 9x^2}(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)) = 0.
\)

Решить уравнение:
\(
\sqrt{16 — 9x^2}(3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0;
\)

1) Область определения:
\(
16 — 9x^2 \geq 0;
\)
\(
9x^2 — 16 \leq 0;
\)
\(
(3x + 4)(3x — 4) \leq 0;
\)
\(
-\frac{4}{3} \leq x \leq \frac{4}{3};
\)

2) Первое уравнение:
\(
16 — 9x^2 = 0;
\)
\(
x_1 = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{4}{3};
\)

3) Второе уравнение:
\(
3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0;
\)
\(
6 \sin \pi x \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0;
\)
\(
\sin \pi x \cdot (6 \cos \pi x + 8) = 0;
\)
\(
\sin \pi x = 0;
\)
\(
\pi x = \pi n;
\)

Ответ:
\(
x = -\frac{4}{3}; \quad x = -1; \quad x = 0; \quad x = 1; \quad x = \frac{4}{3}.
\)

Решите уравнение:

\(
\sqrt{16 — 9x^2}(3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0.
\)

1) Определим область определения. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\(
16 — 9x^2 \geq 0.
\)

Переписав неравенство, получаем:

\(
9x^2 — 16 \leq 0.
\)

Далее, разложим на множители:

\(
(3x + 4)(3x — 4) \leq 0.
\)

Теперь найдём корни неравенства:

\(
3x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{3},
\)
\(
3x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}.
\)

Анализируя знаки функции на промежутках, определяем, что:

\(
-\frac{4}{3} \leq x \leq \frac{4}{3}.
\)

2) Рассмотрим первое уравнение:

\(
16 — 9x^2 = 0.
\)

Решая это уравнение, находим корни:

\(
x_1 = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{4}{3}.
\)

3) Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0.
\)

Применим формулу двойного угла для синуса:

\(
3 (2 \sin \pi x \cos \pi x) + 8 \sin \pi x = 0.
\)

Упрощаем уравнение:

\(
6 \sin \pi x \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0.
\)

Вынесем общий множитель:

\(
\sin \pi x (6 \cos \pi x + 8) = 0.
\)

Теперь решим каждое из уравнений. Первое уравнение:

\(
\sin \pi x = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
\pi x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x = n.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
6 \cos \pi x + 8 = 0.
\)

Решаем его:

\(
6 \cos \pi x = -8,
\)
\(
\cos \pi x = -\frac{4}{3}.
\)

Так как значение косинуса не может превышать 1 по модулю, это уравнение не имеет решений.

Теперь соберём все найденные решения. Из первого уравнения мы получили:

\(
x = -\frac{4}{3}, \quad x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1, \quad x = \frac{4}{3}.
\)

Ответ:
\(
x = -\frac{4}{3}; \quad x = -1; \quad x = 0; \quad x = 1; \quad x = \frac{4}{3}.
\)