ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\sqrt{25 — 4x^2} \left( \sin(\pi x) + 3 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right) = 0.
\)

Решить уравнение:
\(
\sqrt{25 — 4x^2} \cdot \left( \sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0;
\)

1) Область определения:
\(
25 — 4x^2 \geq 0;
\)
\(
4x^2 — 25 \leq 0;
\)
\(
(2x + 5)(2x — 5) \leq 0;
\)
\(
-2.5 \leq x \leq 2.5;
\)

2) Первое уравнение:
\(
25 — 4x^2 = 0;
\)
\(
x_1 = -2.5, \quad x_2 = 2.5;
\)

3) Второе уравнение:
\(
\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0;
\)
\(
2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0;
\)
\(
\cos \frac{\pi x}{2} \cdot \left( 2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3 \right) = 0;
\)
\(
\cos \frac{\pi x}{2} = 0;
\)
\(
\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x = 1 + 2n;
\)

Ответ:
\(
x = -2.5; \quad x = -1; \quad x = 1; \quad x = 2.5.
\)

Решите уравнение:

\(
\sqrt{25 — 4x^2} \cdot \left( \sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0.
\)

1) Определим область определения. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\(
25 — 4x^2 \geq 0.
\)

Переписываем неравенство:

\(
4x^2 — 25 \leq 0.
\)

Далее, разложим на множители:

\(
(2x + 5)(2x — 5) \leq 0.
\)

Теперь найдём корни неравенства:

\(
2x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2} = -2.5,
\)
\(
2x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2.5.
\)

Анализируя знаки функции на промежутках, определяем, что:

\(
-2.5 \leq x \leq 2.5.
\)

2) Рассмотрим первое уравнение:

\(
25 — 4x^2 = 0.
\)

Решая это уравнение, находим корни:

\(
x_1 = -2.5, \quad x_2 = 2.5.
\)

3) Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0.
\)

Применим формулу двойного угла для синуса:

\(
2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0.
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
\cos \frac{\pi x}{2} \cdot \left( 2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3 \right) = 0.
\)

Теперь решим два уравнения:

1)

\(
\cos \frac{\pi x}{2} = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Следовательно,

\(
x = 1 + 2n.
\)

Теперь подставим значения \(n = -1, 0, 1\):

— Для \(n = -1: x = -1\)
— Для \(n = 0: x = 1\)
— Для \(n = 1: x = 3\) (но это выходит за пределы области определения)

Таким образом, возможные значения из этого уравнения:

\(
x = -1, \quad x = 1.
\)

2) Второе уравнение:

\(
2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3 = 0.
\)

Решаем его:

\(
2 \sin \frac{\pi x}{2} = -3,
\)

так как синус не может принимать значения больше 1 или меньше -1, это уравнение не имеет решений.

Теперь соберём все найденные значения \(x\):

Ответ:
\(
x = -2.5; \quad x = -1; \quad x = 1; \quad x = 2.5.
\)