ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
(\sqrt{9 + x} + 3)(\sqrt{10 + x} + 8) = -3x.
\)

Решить уравнение:
\(
(\sqrt{9 + x + 3})(\sqrt{10 + x + 8}) = -3x;
\)

Функция \(f(x) = \sqrt{9 + x + 3}\) возрастает;
Функция \(g(x) = \sqrt{10 + x + 8}\) возрастает;
Функция \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) возрастает;
Функция \(p(x) = -3x\) убывает;

Существует единственное решение:
\(
f(-9) = \sqrt{9 — 9 + 3} = \sqrt{0} + 3 = 3;
\)
\(
g(-9) = \sqrt{10 — 9 + 8} = \sqrt{1} + 8 = 9;
\)
\(
h(x) = 3 \cdot 9 = 27, \quad p(x) = -3 \cdot (-9) = 27;
\)

Ответ:
\(
x = -9.
\)

Решите уравнение:

\(
(\sqrt{9 + x} + 3)(\sqrt{10 + x} + 8) = -3x.
\)

1) Рассмотрим функции:

Функция \(f(x) = \sqrt{9 + x} + 3\) является возрастающей, так как производная \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{9 + x}}\) всегда положительна для \(x > -9\).

Функция \(g(x) = \sqrt{10 + x} + 8\) также является возрастающей, так как её производная \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}\) также всегда положительна для \(x > -10\).

Таким образом, функция \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) будет возрастать, так как произведение двух возрастающих функций также является возрастающей.

Функция \(p(x) = -3x\) убывает, так как её производная \(p'(x) = -3\) отрицательна.

2) Поскольку \(h(x)\) возрастает, а \(p(x)\) убывает, существует единственное решение уравнения.

3) Найдём значения функций при \(x = -9\):

\(
f(-9) = \sqrt{9 — 9} + 3 = \sqrt{0} + 3 = 3.
\)

\(
g(-9) = \sqrt{10 — 9} + 8 = \sqrt{1} + 8 = 9.
\)

Теперь вычислим значение функции \(h(x)\):

\(
h(-9) = f(-9) \cdot g(-9) = 3 \cdot 9 = 27.
\)

И значение функции \(p(x)\):

\(
p(-9) = -3 \cdot (-9) = 27.
\)

4) Поскольку \(h(-9) = p(-9)\), это подтверждает, что существует решение.

Ответ:

\(
x = -9.
\)