ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1)

\(
\frac{1 + \cos(x) + \sin(x)}{\cos(x)} = 0;
\)

2)

\(
\frac{\cos(x) + \cos\left(\frac{3x}{2}\right) — 2}{\sin\left(\frac{x}{8}\right)} = 0.
\)

Решить уравнение:
\(
\frac{1 + \cos x + \sin x}{\cos x} = 0;
\)

1)
\(
1 + \cos x + \sin x = 0;
\)
\(
2 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0;
\)
\(
2 \cos \frac{x}{2} \cdot \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) = 0;
\)
\(
\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 0, \quad \cos \frac{x}{2} = 0;
\)

2)
\(
1 + \tan \frac{x}{2} = 0;
\)
\(
\tan \frac{x}{2} = -1;
\)

\(
\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \pi + 2\pi n;
\)

Область определения:
\(
\cos x \neq 0;
\)
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
x = \pi + 2\pi n.
\)

2)
\(
\frac{\cos x + \cos \frac{3x}{2} — 2}{\sin \frac{x}{8}} = 0;
\)

\(
\cos x + \cos \frac{3x}{2} — 2 = 0;
\)
\(
\cos x \leq 1, \quad \cos \frac{3x}{2} \leq 1;
\)
\(
\cos x = 1, \quad \cos \frac{3x}{2} = 1;
\)

\(
x = 2\pi n, \quad \frac{3x}{2} = 2\pi m;
\)
\(
x = 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi m}{3};
\)
\(
x = 4\pi n;
\)

Область определения:
\(
\sin \frac{x}{8} \neq 0;
\)
\(
x \neq \frac{8\pi n}{8};
\)

Ответ:
\(
x = 4\pi + 8\pi n.
\)

Решите уравнение:

\(
\frac{1 + \cos x + \sin x}{\cos x} = 0;
\)

1) Упростим уравнение:

\(
1 + \cos x + \sin x = 0;
\)

Запишем это уравнение в виде:

\(
\sin x + \cos x = -1.
\)

Используя формулу для суммы углов, преобразуем:

\(
\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right).
\)

Таким образом, у нас есть:

\(
\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1.
\)

Следовательно,

\(
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.
\)

Это равенство выполняется при:

\(
x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi,
\)

где \(k \in \mathbb{Z}\).

Решая эти уравнения, получаем:

1. \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi — \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\)
2. \(x = \frac{7\pi}{4} — \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\)

Теперь рассмотрим следующий шаг:

Преобразуем уравнение:

\(
2 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0;
\)

Факторизуем:

\(
2 \cos \frac{x}{2} \cdot \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) = 0;
\)

Это дает два случая:

1. \( \cos \frac{x}{2} = 0; \)
2. \( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 0; \)

Решаем первый случай:

\(
\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi,
\)
откуда
\(
x = \pi + 2k\pi.
\)

Решаем второй случай:

\(
\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = -1,
\)
что дает
\(
\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi,
\)
откуда
\(
x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi.
\)

Теперь найдем область определения:

Необходимо, чтобы

\(
\cos x \neq 0;
\)
то есть
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi.
\)

Ответ для первого уравнения:

Объединив все решения, мы получаем:

\[
x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi,
x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi,
x = \pi + 2k\pi.
\]

Теперь переходим ко второму уравнению:

Решите уравнение:

\(
\frac{\cos x + \cos \frac{3x}{2} — 2}{\sin \frac{x}{8}} = 0;
\)

Это означает, что

\(
\cos x + \cos \frac{3x}{2} — 2 = 0;
\)

Следовательно,

\(
\cos x + \cos \frac{3x}{2} = 2.
\)

Поскольку максимальное значение косинуса равно 1, это уравнение выполняется только в случае, когда:

1. \( \cos x = 1; \)
2. \( \cos \frac{3x}{2} = 1; \)

Решим первое уравнение:

\(
x = 2k\pi.
\)

Теперь решим второе уравнение:

Для этого имеем:

\(
\frac{3x}{2} = 2m\pi,
\)
откуда

\(
x = \frac{4m\pi}{3}.
\)

Объединив оба случая, получаем:

1. \( x = 2k\pi; \)
2. \( x = \frac{4m\pi}{3}. \)

Теперь найдем область определения для второго уравнения:

Необходимо, чтобы

\(
\sin \frac{x}{8} \neq 0;
\)
то есть

\(
x \neq 8n\pi.
\)

Ответ для второго уравнения:

Объединив все решения, мы получаем:

Ответ:
\(
x = 4\pi + 8\pi n.
\)