ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1)

\(
\frac{\sin^2(2x) — \sin^2(x)}{\cos(3x) — 1} = 0;
\)

2)

\(
\frac{\cos(x) + \cos(3x) + 2}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) — 1} = 0.
\)

Решить уравнение:
\(
\frac{\sin^2 2x — \sin^2 x}{\cos 3x — 1} = 0;
\)

1)
\(
\sin^2 2x — \sin^2 x = 0;
\)
\(
4 \sin^2 x \cos^2 x — \sin^2 x = 0;
\)
\(
\sin^2 x \cdot (4 \cos^2 x — 1) = 0;
\)
\(
4 \cos^2 x — 1 = 0, \quad \sin^2 x = 0;
\)
\(
2 \cos 2x + 2 — 1 = 0;
\)
\(
2 \cos 2x = -1;
\)
\(
\cos 2x = -\frac{1}{2};
\)

\(
2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad \sin x = 0;
\)
\(
x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \pi n;
\)

Область определения:
\(
\cos 3x — 1 \neq 0;
\)
\(
\cos 3x \neq 1;
\)
\(
3x \neq 2\pi n;
\)
\(
x \neq \frac{2\pi n}{3};
\)

Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}.
\)

2)
\(
\frac{\cos x + \cos 3x + 2}{\sin \frac{x}{2} — 1} = 0;
\)

\(
\cos x + \cos 3x + 2 = 0;
\)
\(
\cos x \geq -1, \quad \cos 3x \geq -1;
\)
\(
\cos x = -1, \quad \cos 3x = -1;
\)

\(
x = \pi + 2\pi n, \quad 3x = \pi + 2\pi n;
\)
\(
x = \pi + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};
\)
\(
x = \pi + 2\pi n;
\)

Область определения:
\(
\sin \frac{x}{2} — 1 \neq 0;
\)
\(
\sin \frac{x}{2} \neq 1;
\)
\(
x \neq \pi + 4\pi n;
\)

Ответ:
\(
x = 3\pi + 4\pi n.
\)

Решение уравнения:

\(
\frac{\sin^2 2x — \sin^2 x}{\cos 3x — 1} = 0
\)

Первый случай: числитель равен нулю

Рассмотрим числитель:

\(
\sin^2 2x — \sin^2 x = 0
\)

Используем формулу \(\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x\):

\(
4 \sin^2 x \cos^2 x — \sin^2 x = 0
\)

Вынесем \(\sin^2 x\) за скобки:

\(
\sin^2 x \cdot (4 \cos^2 x — 1) = 0
\)

Отсюда два случая:

1. \(\sin^2 x = 0\)
2. \(4 \cos^2 x — 1 = 0\)

Рассмотрим первый случай: \(\sin^2 x = 0\)

\(
\sin x = 0
\)

Решение:

\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Рассмотрим второй случай: \(4 \cos^2 x — 1 = 0\)

\(
\cos^2 x = \frac{1}{4}
\)

\(
\cos x = \pm \frac{1}{2}
\)

Решение:

\(
x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Второй случай: знаменатель равен нулю

Рассмотрим область определения:

\(
\cos 3x — 1 \neq 0
\)

\(
\cos 3x \neq 1
\)

Решение:

\(
3x \neq 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

\(
x \neq \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Итоговый ответ для первого уравнения

Объединяем решения с учетом области определения:

\(
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Второе уравнение:

\(
\frac{\cos x + \cos 3x + 2}{\sin \frac{x}{2} — 1} = 0
\)

Рассмотрим числитель: \(\cos x + \cos 3x + 2 = 0\)

Используем условие:

\(
\cos x \geq -1, \quad \cos 3x \geq -1
\)

Рассмотрим случаи, когда \(\cos x = -1\) и \(\cos 3x = -1\):

\(
\cos x = -1 — x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

\(
\cos 3x = -1 — 3x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Решение для \(\cos 3x = -1\):

\(
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Объединяем:

\(
x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Рассмотрим область определения: \(\sin \frac{x}{2} — 1 \neq 0\)

\(
\sin \frac{x}{2} \neq 1
\)

Решение:

\(
\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

\(
x \neq \pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Итоговый ответ для второго уравнения

С учетом области определения:

\(
x = 3\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)