Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнения:
1)
\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) — 5\cot(x);
\)
2)
\(
\tan(2x) + \sin(2x) = -\frac{3}{2}\cot(x).
\)
1) \(\tan\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = 2 \cos\frac{2\pi}{3} — 5 \cot x\);
\(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 5 \cot x\);
\(
\frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan x} = -1 — 5 \cot x;
\)
\(
1 + \tan x = — (1 + 5 \cot x)(1 — \tan x);
\)
\(
1 + \tan x = -1 + \tan x — 5 \cot x + 5;
\)
\(
5 \cot x = 3;
\)
\(
\cot x = \frac{3}{5};
\)
\(
\tan x = \frac{5}{3};
\)
\(
x = \arctan\frac{5}{3} + \pi n;
\)
Возможный корень:
\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\frac{7\pi}{4} = -1;
\)
\(
-1 — 5 \cot\frac{2\pi}{3} = -1 — 0 = -1;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \arctan\frac{5}{3} + \pi n.
\)
Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \arctan\frac{5}{3} + \pi n.
\)
2) \(\tan 2x + \sin 2x = -\frac{3}{2} \cot x;\)
\(
2 \sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x = -\frac{3 \cos 2x}{\sin x};
\)
\(
2 \sin 2x \sin x + 2 \sin 2x \cos 2x \sin x = -3 \cos x \cos 2x;
\)
\(
4 \sin^2 x \cos x + 4 \sin^2 x \cos x \cos 2x + 3 \cos x \cos 2x = 0;
\)
\(
\cos x \cdot (4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos 2x + 3 \cos 2x) = 0;
\)
\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 — 2 \sin^2 x) + 3(1 — 2 \sin^2 x) = 0;
\)
\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x — 8 \sin^4 x + 3 — 6 \sin^2 x = 0;
\)
\(
8 \sin^4 x — 2 \sin^2 x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 \cdot 3 = 4 + 96 = 100,
\)
тогда:
\(
\sin^2 x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{2},
\)
\(
\sin^2 x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{3}{4};
\)
\(
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = 0;
\)
\(
x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n.
\)
1) Рассмотрим уравнение:
\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = 2 \cos\frac{2\pi}{3} — 5 \cot x
\)
Подставим значение \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), тогда:
\(
\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 5 \cot x
\)
Используем формулу сложения для тангенса:
\(
\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan x}
\)
Подставляем в уравнение:
\(
\frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan x} = -1 — 5 \cot x
\)
Упростим выражение:
\(
1 + \tan x = — (1 + 5 \cot x)(1 — \tan x)
\)
Раскрываем скобки:
\(
1 + \tan x = -1 + \tan x — 5 \cot x + 5
\)
Приводим подобные:
\(
5 \cot x = 3
\)
Находим \(\cot x\):
\(
\cot x = \frac{3}{5}
\)
Находим \(\tan x\):
\(
\tan x = \frac{5}{3}
\)
Таким образом, общий вид \(x\):
\(
x = \arctan\frac{5}{3} + \pi n
\)
Проверим возможный корень:
\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\frac{7\pi}{4} = -1
\)
Подставляем в уравнение:
\(
-1 — 5 \cot\frac{2\pi}{3} = -1 — 0 = -1
\)
Следовательно, еще один корень:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)
Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \arctan\frac{5}{3} + \pi n
\)
2) Рассмотрим уравнение:
\(
\tan 2x + \sin 2x = -\frac{3}{2} \cot x
\)
Используем формулы:
\(
\tan 2x = \frac{2 \sin 2x \cos 2x}{\sin x}, \quad \sin 2x = 2 \sin x \cos x
\)
Подставляем:
\(
2 \sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x = -\frac{3 \cos 2x}{\sin x}
\)
Раскрываем \(\sin 2x\):
\(
2 \sin 2x \sin x + 2 \sin 2x \cos 2x \sin x = -3 \cos x \cos 2x
\)
Упростим выражение:
\(
4 \sin^2 x \cos x + 4 \sin^2 x \cos x \cos 2x + 3 \cos x \cos 2x = 0
\)
Вынесем \(\cos x\) за скобки:
\(
\cos x \cdot (4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos 2x + 3 \cos 2x) = 0
\)
Рассмотрим содержимое скобок:
\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 — 2 \sin^2 x) + 3(1 — 2 \sin^2 x) = 0
\)
Раскрываем скобки:
\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x — 8 \sin^4 x + 3 — 6 \sin^2 x = 0
\)
Приводим подобные:
\(
8 \sin^4 x — 2 \sin^2 x — 3 = 0
\)
Решим квадратное уравнение относительно \(\sin^2 x\). Найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 \cdot 3 = 4 + 96 = 100
\)
Корни:
\(
\sin^2 x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{2}
\)
\(
\sin^2 x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{3}{4}
\)
Из второго корня:
\(
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = 0
\)
Найдем \(x\):
\(
x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)
Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.