ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1)

\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) — 5\cot(x);
\)

2)

\(
\tan(2x) + \sin(2x) = -\frac{3}{2}\cot(x).
\)

1) \(\tan\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = 2 \cos\frac{2\pi}{3} — 5 \cot x\);

\(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 5 \cot x\);

\(
\frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan x} = -1 — 5 \cot x;
\)

\(
1 + \tan x = — (1 + 5 \cot x)(1 — \tan x);
\)

\(
1 + \tan x = -1 + \tan x — 5 \cot x + 5;
\)

\(
5 \cot x = 3;
\)

\(
\cot x = \frac{3}{5};
\)

\(
\tan x = \frac{5}{3};
\)

\(
x = \arctan\frac{5}{3} + \pi n;
\)

Возможный корень:

\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\frac{7\pi}{4} = -1;
\)

\(
-1 — 5 \cot\frac{2\pi}{3} = -1 — 0 = -1;
\)

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \arctan\frac{5}{3} + \pi n.
\)

Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \arctan\frac{5}{3} + \pi n.
\)

2) \(\tan 2x + \sin 2x = -\frac{3}{2} \cot x;\)

\(
2 \sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x = -\frac{3 \cos 2x}{\sin x};
\)

\(
2 \sin 2x \sin x + 2 \sin 2x \cos 2x \sin x = -3 \cos x \cos 2x;
\)

\(
4 \sin^2 x \cos x + 4 \sin^2 x \cos x \cos 2x + 3 \cos x \cos 2x = 0;
\)

\(
\cos x \cdot (4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos 2x + 3 \cos 2x) = 0;
\)

\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 — 2 \sin^2 x) + 3(1 — 2 \sin^2 x) = 0;
\)

\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x — 8 \sin^4 x + 3 — 6 \sin^2 x = 0;
\)

\(
8 \sin^4 x — 2 \sin^2 x — 3 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 \cdot 3 = 4 + 96 = 100,
\)

тогда:

\(
\sin^2 x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{2},
\)

\(
\sin^2 x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{3}{4};
\)

\(
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = 0;
\)

\(
x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n.
\)

1) Рассмотрим уравнение:

\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + x\right) = 2 \cos\frac{2\pi}{3} — 5 \cot x
\)

Подставим значение \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), тогда:

\(
\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — 5 \cot x
\)

Используем формулу сложения для тангенса:

\(
\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan x}
\)

Подставляем в уравнение:

\(
\frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan x}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan x} = -1 — 5 \cot x
\)

Упростим выражение:

\(
1 + \tan x = — (1 + 5 \cot x)(1 — \tan x)
\)

Раскрываем скобки:

\(
1 + \tan x = -1 + \tan x — 5 \cot x + 5
\)

Приводим подобные:

\(
5 \cot x = 3
\)

Находим \(\cot x\):

\(
\cot x = \frac{3}{5}
\)

Находим \(\tan x\):

\(
\tan x = \frac{5}{3}
\)

Таким образом, общий вид \(x\):

\(
x = \arctan\frac{5}{3} + \pi n
\)

Проверим возможный корень:

\(
\tan\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\frac{7\pi}{4} = -1
\)

Подставляем в уравнение:

\(
-1 — 5 \cot\frac{2\pi}{3} = -1 — 0 = -1
\)

Следовательно, еще один корень:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

Ответ:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \arctan\frac{5}{3} + \pi n
\)

2) Рассмотрим уравнение:

\(
\tan 2x + \sin 2x = -\frac{3}{2} \cot x
\)

Используем формулы:

\(
\tan 2x = \frac{2 \sin 2x \cos 2x}{\sin x}, \quad \sin 2x = 2 \sin x \cos x
\)

Подставляем:

\(
2 \sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x = -\frac{3 \cos 2x}{\sin x}
\)

Раскрываем \(\sin 2x\):

\(
2 \sin 2x \sin x + 2 \sin 2x \cos 2x \sin x = -3 \cos x \cos 2x
\)

Упростим выражение:

\(
4 \sin^2 x \cos x + 4 \sin^2 x \cos x \cos 2x + 3 \cos x \cos 2x = 0
\)

Вынесем \(\cos x\) за скобки:

\(
\cos x \cdot (4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos 2x + 3 \cos 2x) = 0
\)

Рассмотрим содержимое скобок:

\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 — 2 \sin^2 x) + 3(1 — 2 \sin^2 x) = 0
\)

Раскрываем скобки:

\(
4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x — 8 \sin^4 x + 3 — 6 \sin^2 x = 0
\)

Приводим подобные:

\(
8 \sin^4 x — 2 \sin^2 x — 3 = 0
\)

Решим квадратное уравнение относительно \(\sin^2 x\). Найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 \cdot 3 = 4 + 96 = 100
\)

Корни:

\(
\sin^2 x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{2}
\)

\(
\sin^2 x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{3}{4}
\)

Из второго корня:

\(
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = 0
\)

Найдем \(x\):

\(
x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

Ответ:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n
\)