ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\tan(2x) — \sin(2x) = -\frac{9}{2} \cot(x).
\)

Решить уравнение:
\(
\tan 2x — \sin 2x = — \frac{9}{2} \cot x;
\)
\(
2 \sin 2x — 2 \sin 2x = — \frac{9 \cos x \cos 2x}{\sin x};
\)
\(
2 \sin 2x \sin x — 2 \sin 2x \cos 2x \sin x = — 9 \cos x \cos 2x;
\)
\(
4 \sin^2 x \cos x — 4 \sin^2 x \cos x \cos 2x + 9 \cos x \cos 2x = 0;
\)
\(
\cos x \cdot (4 \sin^2 x — 4 \sin^2 x \cos 2x + 9 \cos 2x) = 0;
\)
\(
4 \sin^2 x — 4 \sin^2 x (1 — 2 \sin^2 x) + 9(1 — 2 \sin^2 x) = 0;
\)
\(
4 \sin^2 x — 4 \sin^2 x + 8 \sin^4 x + 9 — 18 \sin^2 x = 0;
\)
\(
8 \sin^4 x — 18 \sin^2 x + 9 = 0;
\)
\(
D = 18^2 — 4 \cdot 8 \cdot 9 = 324 — 288 = 36,
\)
тогда:
\(
\sin^2 x_1 = \frac{18 — 6}{2 \cdot 8} = \frac{3}{4};
\)
\(
\sin^2 x_2 = \frac{18 + 6}{2 \cdot 8} = \frac{3}{2};
\)
\(
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = 0;
\)
\(
x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.
\)

Рассмотрим уравнение:

\(
\tan 2x — \sin 2x = — \frac{9}{2} \cot x
\)

Используем формулу для тангенса двойного угла:

\(
\tan 2x = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x — \sin^2 x}
\)

и формулу синуса двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\)

Подставляем их в исходное уравнение:

\(
\frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x — \sin^2 x} — 2 \sin x \cos x = — \frac{9}{2} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}
\)

Домножим обе части на \(2 \sin x (\cos^2 x — \sin^2 x)\), чтобы избавиться от дробей:

\(
2 \sin x \cos x — 2 \sin x \cos x (\cos^2 x — \sin^2 x) = — 9 \cos x (\cos^2 x — \sin^2 x)
\)

Раскрываем скобки:

\(
2 \sin x \cos x — 2 \sin x \cos x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x \sin^2 x = — 9 \cos x \cos^2 x +
\)
\(
+ 9 \cos x \sin^2 x
\)

Группируем подобные слагаемые:

\(
2 \sin x \cos x — 2 \sin x \cos x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x \sin^2 x + 9 \cos x \cos^2 x —
\)
\(
— 9 \cos x \sin^2 x = 0
\)

Вынесем общий множитель \(\cos x\):

\(
\cos x \cdot (2 \sin x — 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \sin^2 x + 9 \cos^2 x — 9 \sin^2 x) = 0
\)

Рассмотрим два случая:

1. \(\cos x = 0\).

В этом случае:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

2. Выражение в скобках равно нулю:

\(
2 \sin x — 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \sin^2 x + 9 \cos^2 x — 9 \sin^2 x = 0
\)

Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), чтобы упростить выражение. Подставляем \(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\):

\(
2 \sin x — 2 \sin x (1 — \sin^2 x) + 2 \sin x \sin^2 x + 9 (1 — \sin^2 x) — 9 \sin^2 x = 0
\)

Раскрываем скобки:

\(
2 \sin x — 2 \sin x + 2 \sin x \sin^2 x + 2 \sin x \sin^2 x + 9 — 9 \sin^2 x — 9 \sin^2 x = 0
\)

Приводим подобные:

\(
4 \sin x \sin^2 x — 18 \sin^2 x + 9 = 0
\)

Введем замену \(y = \sin^2 x\), тогда уравнение принимает вид:

\(
8 y^2 — 18 y + 9 = 0
\)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\(
D = (-18)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 9 = 324 — 288 = 36
\)

Корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{-(-18) — \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{18 — 6}{16} = \frac{3}{4}
\)

\(
y_2 = \frac{-(-18) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{18 + 6}{16} = \frac{3}{2}
\)

Так как \(\sin^2 x \leq 1\), подходит только \(y_1 = \frac{3}{4}\). Тогда:

\(
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\)

Для \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\), решением будет:

\(
x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Итак, окончательный ответ:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)