ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\log_9 \sin(2x) = \log_3 \left(\frac{\sin(x)}{5}\right).
\)

Решить уравнение:
\(
\log_9 \sin 2x = \log_3 \sqrt{\frac{\sin x}{5}};
\)
\(
\log_9 \sin 2x = \log_9 \frac{\sin x}{5}; \quad \sin 2x = \frac{\sin x}{5};
\)
\(
5 \sin 2x = \sin x;
\)
\(
10 \sin x \cos x — \sin x = 0; \quad \sin x \cdot (10 \cos x — 1) = 0;
\)
\(
\sin x = 0, \quad \cos x = \frac{1}{10};
\)
\(
x = \pi n, \quad x = \pm \arccos \frac{1}{10} + 2\pi n;
\)

Область определения:
\(
\sin x > 0;
\)
\(
2\pi n < x < \pi + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
\arccos \frac{1}{10} + 2\pi n.
\)

Решить уравнение:

\(
\log_9 \sin 2x = \log_3 \sqrt{\frac{\sin x}{5}}.
\)

Сначала преобразуем правую часть. Используем свойство логарифмов:

\(
\log_3 \sqrt{\frac{\sin x}{5}} = \log_3 \left(\frac{\sin x}{5}\right)^{1/2} = \frac{1}{2} \log_3 \left(\frac{\sin x}{5}\right).
\)

Теперь, используя изменение основания логарифма, получаем:

\(
\log_9 \sin 2x = \frac{1}{2} \log_3 \left(\frac{\sin x}{5}\right).
\)

Преобразуем логарифм с основанием 9 в логарифм с основанием 3:

\(
\log_9 \sin 2x = \frac{\log_3 \sin 2x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 \sin 2x}{2}.
\)

Теперь у нас есть:

\(
\frac{\log_3 \sin 2x}{2} = \frac{1}{2} \log_3 \left(\frac{\sin x}{5}\right).
\)

Умножим обе стороны на 2:

\(
\log_3 \sin 2x = \log_3 \left(\frac{\sin x}{5}\right).
\)

Теперь, если логарифмы равны, то их аргументы также равны:

\(
\sin 2x = \frac{\sin x}{5}.
\)

Умножим обе стороны на 5:

\(
5 \sin 2x = \sin x.
\)

Используем формулу для синуса двойного угла:

\(
5 (2 \sin x \cos x) = \sin x.
\)

Это можно записать как:

\(
10 \sin x \cos x — \sin x = 0.
\)

Вынесем общий множитель:

\(
\sin x (10 \cos x — 1) = 0.
\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(\sin x = 0\)
2. \(10 \cos x — 1 = 0\)

Решим первый случай:

\(
\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Решим второй случай:

\(
10 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{10}.
\)

Теперь найдем \(x\):

\(
x = \pm \arccos \left(\frac{1}{10}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Область определения:
Для функции синуса необходимо, чтобы:

\(
\sin x > 0.
\)

Это выполняется в интервале:

\(
0 < x < \pi.
\)

Таким образом, учитывая периодичность, получаем:

\(
2\pi n < x < \pi + 2\pi n.
\)

Ответ:
Находим допустимые значения \(x\):

\(
x = \arccos \left(\frac{1}{10}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)