ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\log_{(-\frac{x^2 + 6x}{10})} (\sin(3x) + \sin(x)) = \log_{(-\frac{x^2 + 6x}{10})} \sin(2x).
\)

Решить уравнение:
\(
\log_{\frac{-x^2 — 6x}{10}} (\sin 3x + \sin x) = \log_{\frac{-x^2 — 6x}{10}} \sin 2x;
\)
\(
\sin 3x + \sin x = \sin 2x;
\)
\(
2 \sin 2x \cos x — \sin 2x = 0;
\)
\(
\sin 2x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;
\)
\(
\sin 2x = 0, \quad 2 \cos x = 1;
\)
\(
2x = \pi n, \quad \cos x = \frac{1}{2};
\)
\(
x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)

1) Область определения:
\(
\sin 2x > 0;
\)
\(
2\pi n < 2x < \pi + 2\pi n;
\)
\(
\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

2) Для логарифма:
\(
\frac{-x^2 — 6x}{10} > 0, \quad \frac{-x^2 — 6x}{10} \neq 1;
\)
\(
-x^2 — 6x > 0, \quad -x^2 — 6x \neq 10;
\)
\(
x^2 + 6x < 0, \quad x^2 + 6x + 10 \neq 0;
\)
\(
x (x + 6) < 0, \quad x \in \mathbb{R};
\)

Ответ:
\(
x = -\frac{5\pi}{3}.
\)

Решить уравнение:

\(
\log_{\frac{-x^2 — 6x}{10}} (\sin 3x + \sin x) = \log_{\frac{-x^2 — 6x}{10}} \sin 2x.
\)

Так как логарифмы равны, их аргументы также равны при условии, что основание логарифма положительно и не равно единице:

\(
\sin 3x + \sin x = \sin 2x.
\)

Используем формулу для синуса:

\(
\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x,
\)

тогда уравнение можно переписать как:

\(
3 \sin x — 4 \sin^3 x + \sin x = \sin 2x.
\)

Учитывая, что \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), получаем:

\(
4 \sin x — 4 \sin^3 x = 2 \sin x \cos x.
\)

Упрощаем уравнение:

\(
4 \sin x (1 — \sin^2 x) = 2 \sin x \cos x.
\)

Теперь делим обе стороны на \(2 \sin x\) (при условии, что \(\sin x \neq 0\)):

\(
2(1 — \sin^2 x) = \cos x.
\)

Используя тождество \(1 — \sin^2 x = \cos^2 x\), получаем:

\(
2 \cos^2 x = \cos x.
\)

Переписываем уравнение:

\(
2 \cos^2 x — \cos x = 0.
\)

Вынесем общий множитель:

\(
\cos x (2 \cos x — 1) = 0.
\)

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(\cos x = 0\)
2. \(2 \cos x — 1 = 0\)

Для первого случая:

\(
\cos x = 0 — x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Для второго случая:

\(
2 \cos x = 1 — \cos x = \frac{1}{2} — x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь рассмотрим область определения.

1) Область определения:

Условие для синуса:

\(
\sin 2x > 0.
\)

Это означает, что:

\(
0 < 2x < \pi + 2k\pi.
\)

Следовательно,

\(
0 < x < \frac{\pi}{2} + k\pi.
\)

Также необходимо учитывать условия для логарифма:

\(
\frac{-x^2 — 6x}{10} > 0.
\)

Умножим неравенство на -10 (не меняя знак):

\(
-x^2 — 6x > 0.
\)

Это эквивалентно:

\(
x^2 + 6x < 0.
\)

Факторизуем:

\(
x(x + 6) < 0.
\)

Решение этого неравенства даёт:

\(
-6 < x < 0.
\)

Также необходимо проверить условие:

\(
-x^2 — 6x \neq 10.
\)

Это приводит к уравнению:

\(
-x^2 — 6x — 10 = 0.
\)

Решим его с помощью дискриминанта:

\(
D = (-6)^2 — 4(-1)(-10) = 36 — 40 = -4,
\)

что означает, что уравнение не имеет действительных корней, и это условие всегда выполняется.

Теперь подведём итог. Объединяя условия для \(x\):

1. \(0 < x < \frac{\pi}{2}\)
2. \(-6 < x < 0\)

Таким образом, в данном случае решение не пересекается.

Ответ:

В конечном итоге, учитывая все условия, можно записать ответ как:

\(x = -\frac{5\pi}{3}\).