ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Равносильны ли уравнения:}
\)

\( x^2 = 2x \) и \( x = 2; \)

\( \frac{x+3}{x+3} = 1 \) и \( \frac{x^2+3}{x^2+3} = 1; \)

\( \frac{x+4}{x+4} = 0 \) и \( \frac{x^2-16}{x^2-16} = 0; \)

\( \cos(x) = -1.2 \) и \( e^x = 0; \)

\( \cos(x) = 0 \) и \( \sin(x) = 1; \)

\( \frac{2\tan(x)}{1 + \tan^2(x)} = 0 \) и \( \sin(2x) = 0; \)

\( \sqrt{x^2 (x-1)} = 0 \) и \( |x|\sqrt{x-1} = 0; \)

\( \log_{x^2} x^2 = 1 \) и \( \log_x x = 1. \)

1) \( x^2 = 2x \), \( x = 2 \);
Первое уравнение:
\( x^2 — 2x = 0; \)
\( x(x-2) = 0; \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = 2; \)
Ответ: нет.

2) \(\frac{x+3}{x+3} = 1\), \(\frac{x^2 + 3}{x^2 + 3} = 1\);
Первое уравнение:
\( x+3 \neq 0, \quad x \neq -3; \)
Второе уравнение:
\( x^2 + 3 \neq 0, \quad x \in \mathbb{R}; \)
Ответ: нет.

3) \(\frac{x+4}{x+4} = 0\), \(\frac{x^2 — 16}{x^2 — 16} = 0\);
Первое уравнение:
\( x+4 \neq 0, \quad x \neq -4; \)
Второе уравнение:
\( x^2 — 16 \neq 0; \quad x^2 \neq 16, \quad x \neq \pm 4; \)
Ответ: нет.

4) \(\cos x = -1.2\), \(e^x = 0\);
Первое уравнение:
\( x \in \emptyset; \)
Второе уравнение:
\( x \in \emptyset; \)
Ответ: да.

5) \(\cos x = 0\), \(\sin x = 1\);
Первое уравнение:
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
Второе уравнение:
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
Ответ: нет.

6) \(\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = 0\), \(\sin 2x = 0\);
Первое уравнение:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
Второе уравнение:
\( 2x \neq \pi + 2 \pi n; \)
\( \sin 2x \neq 0; \)
Ответ: нет.

7) \(\sqrt{x^2(x-1)} = 0\), \(|x|\sqrt{x-1} = 0\);
Первое уравнение:
\( x^2(x-1) = 0; \)
\( x(x-1) = 0; \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = 1; \)
Второе уравнение:
\( |x| = 0, \quad \sqrt{x-1} = 0; \)
\( x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x \geq 1; \)
\( x = 1; \)
Ответ: нет.

8) \(\log_x x^2 = 1\), \(\log_x x = 1\);
Первое уравнение:
\( \log_x x = 1, \quad x^2 \neq 0, \quad x^2 \neq 1; \)
\( x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0, \quad x \neq \pm 1; \)
Второе уравнение:
\( \log_x x = 1, \quad x \neq 0, \quad x \neq 1; \)
\( x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0, \quad x \neq 1; \)
Ответ: нет.

1) Рассмотрим уравнения \( x^2 = 2x \) и \( x = 2 \).

Первое уравнение можно переписать в следующем виде:

\(
x^2 — 2x = 0
\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем вынести общий множитель:

\(
x(x — 2) = 0
\)

Теперь мы можем найти корни уравнения, приравняв каждое множитель к нулю:

\(
x = 0 \quad \text{или} \quad x — 2 = 0 — x = 2
\)

Таким образом, у нас есть два корня:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение \( x = 2 \). Это уравнение имеет единственное решение:

\(
x = 2
\)

Сравнивая решения обоих уравнений, мы видим, что первое уравнение имеет два корня, а второе — только один. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

2) Теперь рассмотрим уравнения \(\frac{x+3}{x+3} = 1\) и \(\frac{x^2 + 3}{x^2 + 3} = 1\).

Первое уравнение можно проанализировать следующим образом. Условие для его выполнения:

\(
x + 3 \neq 0 — x \neq -3
\)

Если \( x \neq -3 \), то мы можем сократить дробь:

\(
\frac{x+3}{x+3} = 1
\)

Таким образом, первое уравнение выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \), кроме \( x = -3 \).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
\frac{x^2 + 3}{x^2 + 3} = 1
\)

Здесь также необходимо учесть условие:

\(
x^2 + 3 \neq 0
\)

Так как \( x^2 + 3 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), это условие всегда выполняется. Следовательно, второе уравнение также выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Таким образом, оба уравнения выполняются для всех \( x \in \mathbb{R} \), кроме \( x = -3 \).

Ответ: нет.

3) Рассмотрим уравнения \(\frac{x+4}{x+4} = 0\) и \(\frac{x^2 — 16}{x^2 — 16} = 0\).

Первое уравнение можно проанализировать следующим образом. Условие для его выполнения:

\(
x + 4 \neq 0 — x \neq -4
\)

Однако, если мы рассмотрим само уравнение \(\frac{x+4}{x+4} = 0\), то оно не может быть равно нулю, так как дробь может быть равна нулю только в случае, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, мы можем записать:

\(
x + 4 = 0 — x = -4
\)

Но это значение недопустимо, так как оно делает знаменатель равным нулю. Следовательно, первое уравнение не имеет решений.

Теперь рассмотрим второе уравнение \(\frac{x^2 — 16}{x^2 — 16} = 0\). Условие для выполнения этого уравнения:

\(
x^2 — 16 \neq 0 — x^2 \neq 16 — x \neq \pm 4
\)

Аналогично, само уравнение не может быть равно нулю по той же причине, что и в первом случае. То есть:

\(
x^2 — 16 = 0 — x = \pm 4
\)

Но эти значения также недопустимы, так как они делают знаменатель равным нулю. Таким образом, второе уравнение также не имеет решений.

Сравнивая результаты, мы видим, что оба уравнения не имеют решений.

Ответ: нет.

4) Теперь рассмотрим уравнения \(\cos x = -1.2\) и \(e^x = 0\).

Первое уравнение:

\(
\cos x = -1.2
\)

Значение функции косинуса находится в диапазоне от -1 до 1. Поскольку -1.2 находится вне этого диапазона, у этого уравнения нет решений. Мы можем записать:

\(
x \in \emptyset
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
e^x = 0
\)

Экспоненциальная функция \(e^x\) всегда положительна для всех значений \(x\). Таким образом, это уравнение также не имеет решений:

\(
x \in \emptyset
\)

Сравнивая результаты, мы видим, что оба уравнения не имеют решений.

Ответ: да.

5) Рассмотрим уравнения \(\cos x = 0\) и \(\sin x = 1\).

Первое уравнение \(\cos x = 0\) имеет решение:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

где \(n\) — целое число. Это означает, что решения будут находиться на всех нечетных кратных \(\frac{\pi}{2}\).

Второе уравнение \(\sin x = 1\) имеет решение:

\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)

где \(n\) также — целое число. Это указывает на то, что решения будут находиться только на четных кратных \(\frac{\pi}{2}\).

Сравнивая решения обоих уравнений, мы видим, что первое уравнение имеет множество решений, включая значения, которые не являются решениями второго уравнения. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

6) Теперь рассмотрим уравнения \(\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = 0\) и \(\sin 2x = 0\).

Первое уравнение можно решить следующим образом. Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю:

\(
2 \tan x = 0
\)

Это приводит нас к решению:

\(
\tan x = 0 — x = k\pi
\)

где \(k\) — целое число. Однако необходимо учитывать, что \(x\) не может принимать значения, при которых \(\tan x\) не определена. Это происходит, когда:

\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

где \(n\) — целое число.

Теперь рассмотрим второе уравнение \(\sin 2x = 0\). Это уравнение имеет решение:

\(
2x = k\pi — x = \frac{k\pi}{2}
\)

где \(k\) — целое число. Следует также учитывать, что для этого уравнения:

\(
2x \neq \pi + 2\pi n
\)

что эквивалентно:

\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

где \(n\) — целое число.

Сравнивая решения обоих уравнений, мы видим, что первое уравнение имеет множество решений, а второе — другое множество. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

7) Рассмотрим уравнения \(\sqrt{x^2(x-1)} = 0\) и \(|x|\sqrt{x-1} = 0\).

Первое уравнение можно переписать следующим образом:

\(
\sqrt{x^2(x-1)} = 0
\)

Это уравнение равно нулю, когда подкоренное выражение также равно нулю:

\(
x^2(x-1) = 0
\)

Теперь мы можем найти корни уравнения, приравняв каждое множитель к нулю:

\(
x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x — 1 = 0
\)

Это приводит нас к решениям:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение \(|x|\sqrt{x-1} = 0\). Это уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(
|x| = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-1} = 0
\)

Решая первое уравнение, мы получаем:

\(
|x| = 0 — x = 0
\)

Решая второе уравнение, мы имеем:

\(
\sqrt{x-1} = 0 — x — 1 = 0 — x = 1
\)

Однако, для второго уравнения необходимо учитывать условие \(x \geq 1\). Таким образом, решения второго уравнения:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x \geq 1
\)

Следовательно, единственное допустимое решение — это \(x = 1\).

Сравнивая решения обоих уравнений, мы видим, что первое уравнение имеет два корня, а второе — только одно. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

8) Теперь рассмотрим уравнения \(\log_x x^2 = 1\) и \(\log_x x = 1\).

Первое уравнение можно переписать следующим образом:

\(
\log_x x^2 = 1
\)

Это означает, что:

\(
x^2 = x^1
\)

При этом необходимо учитывать условия для логарифмов. Условия следующие:

\(
x^2 \neq 0 \quad \text{и} \quad x^2 \neq 1
\)

Это приводит нас к ограничениям:

\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0, \quad x \neq \pm 1
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
\log_x x = 1
\)

Это также означает, что:

\(
x = x^1
\)

Тут также необходимо учитывать условия логарифмов:

\(
x \neq 0 \quad \text{и} \quad x \neq 1
\)

Это приводит к тем же ограничениям:

\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0, \quad x \neq 1
\)

Сравнивая условия и решения обоих уравнений, мы видим, что они имеют одинаковые ограничения. Однако, учитывая особенности логарифмов, можно заключить, что уравнения не равносильны.

Ответ: нет.