ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\log_9 \sin(2x) = \log_3 (\sin(x)).
\)

Решить уравнение:
\(
\log_9 \sin 2x = \log_3 \sqrt{\sin x};
\)
\(
\log_9 \sin 2x = \log_9 \sin x;
\)
\(
\sin 2x = \sin x;
\)
\(
2 \sin x \cos x — \sin x = 0;
\)
\(
\sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;
\)
\(
\sin x = 0, \quad \cos x = \frac{1}{2};
\)
\(
x = \pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)

Область определения:
\(
\sin x > 0;
\)
\(
2\pi n < x < \pi + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n.
\)

Решить уравнение:

\(
\log_9 \sin 2x = \log_3 \sqrt{\sin x}.
\)

Сначала преобразуем правую часть уравнения. Используем свойство логарифмов:

\(
\log_3 \sqrt{\sin x} = \log_3 (\sin x)^{1/2} = \frac{1}{2} \log_3 \sin x.
\)

Теперь преобразуем логарифм с основанием 9 в логарифм с основанием 3:

\(
\log_9 \sin 2x = \frac{\log_3 \sin 2x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 \sin 2x}{2}.
\)

Таким образом, уравнение можно записать как:

\(
\frac{\log_3 \sin 2x}{2} = \frac{1}{2} \log_3 \sin x.
\)

Умножим обе стороны на 2:

\(
\log_3 \sin 2x = \log_3 \sin x.
\)

Так как логарифмы равны, их аргументы также равны:

\(
\sin 2x = \sin x.
\)

Используем формулу для синуса двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x.
\)

Подставляем это в уравнение:

\(
2 \sin x \cos x = \sin x.
\)

Вынесем общий множитель:

\(
\sin x (2 \cos x — 1) = 0.
\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(\sin x = 0\)
2. \(2 \cos x — 1 = 0\)

Решим первый случай:

\(\sin x = 0 — x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.\)

Теперь решим второй случай:

\(2 \cos x — 1 = 0 — \cos x = \frac{1}{2}.\)

Решения этого уравнения:

\(
x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь определим область определения. Условие для логарифма требует, чтобы основание было положительным и не равно единице:

1. Для логарифма необходимо, чтобы \(\sin x > 0\).

Это означает, что:

\(
2\pi n < x < \pi + 2\pi n.
\)

Теперь подведём итог. Ответы из двух случаев:

1. Из первого случая: \(x = \pi n\) (но это не удовлетворяет условию, так как \(\sin x = 0\)).
2. Из второго случая: \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) (это удовлетворяет условию).

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.
\)