ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\log_4 \sin(2x) = \log_2 (-\sin(x)).
\)

\(
\log_4 \sin 2x = \log_4 (-\sin x);
\)
\(
\sin 2x = -\sin x;
\)
\(
2 \sin x \cos x + \sin x = 0;
\)
\(
\sin x \cdot (2 \cos x + 1) = 0;
\)
\(
\sin x = 0, \quad \cos x = -\frac{1}{2};
\)
\(
x = \pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;
\)

Область определения:
\(
-\sin x > 0;
\)
\(
\sin x < 0;
\)
\(
2\pi n < x < 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n.
\)

Дано уравнение:
\(
\log_4 \sin 2x = \log_4 (-\sin x)
\)

Так как логарифмы равны, то их аргументы должны быть равны:
\(
\sin 2x = -\sin x
\)

Используем формулу двойного угла:
\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\)

Подставляем в уравнение:
\(
2 \sin x \cos x = -\sin x
\)

Переносим все в одну часть и выносим \(\sin x\) за скобки:
\(
2 \sin x \cos x + \sin x = 0
\)
\(
\sin x \cdot (2 \cos x + 1) = 0
\)

Получаем два случая:
1. \(\sin x = 0\)
2. \(2 \cos x + 1 = 0\)

Рассмотрим первый случай:
\(
\sin x = 0
\)
Это выполняется при:
\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Рассмотрим второй случай:
\(
2 \cos x + 1 = 0
\)
\(
\cos x = -\frac{1}{2}
\)

Значение \(\cos x = -\frac{1}{2}\) достигается при:
\(
x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Объединяем решения:
\(
x = \pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n
\)

Теперь учтем область определения уравнения. Область определения задается условием:
\(
-\sin x > 0
\)
\(
\sin x < 0
\)

Следовательно, \(\sin x\) должен быть отрицательным. Это выполняется на интервалах:
\(
2\pi n < x < 2\pi n + \pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Из найденных решений оставляем только те, которые удовлетворяют области определения.
1. \(\sin x = 0\) дает \(x = \pi n\), но эти значения не входят в область определения, так как на них \(\sin x = 0\), а не отрицателен.
2. \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\). Учитывая область определения, остается:
\(
x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n
\)

Ответ:
\(
x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)