ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\arccos(\sqrt{3}x) = \arcsin(3x — 2).
\)

Решить уравнение:
\(
\arccos(x\sqrt{3}) = \arcsin(3x — 2);
\)
\(
\sin(\arccos(x\sqrt{3})) = \sin(\arcsin(3x — 2));
\)
\(
\sqrt{1 — 3x^2} = 3x — 2;
\)
\(
1 — 3x^2 = 9x^2 — 12x + 4;
\)
\(
12x^2 — 12x + 3 = 0;
\)
\(
4x^2 — 4x + 1 = 0;
\)
\(
(2x — 1)^2 = 0;
\)
\(
x = \frac{1}{2};
\)

1) Значение синуса:
\(
\sin t = \sqrt{1 — \cos^2 t};
\)
\(
\cos(\arccos(x\sqrt{3})) = x\sqrt{3};
\)
\(
\sin(\arccos(x\sqrt{3})) = \sqrt{1 — 3x^2};
\)

2) Область определения:
\(
1 — 3x^2 > 0, \quad 3x — 2 > 0;
\)
\(
x^2 < \frac{1}{3}, \quad x > \frac{2}{3};
\)

Ответ: корней нет.

Решить уравнение:

\(
\arccos(x\sqrt{3}) = \arcsin(3x — 2).
\)

Так как \(\arccos\) и \(\arcsin\) являются обратными функциями, мы можем использовать синус на обеих сторонах:

\(
\sin(\arccos(x\sqrt{3})) = \sin(\arcsin(3x — 2)).
\)

Это даёт нам:

\(
\sqrt{1 — (x\sqrt{3})^2} = 3x — 2.
\)

Упрощаем левую часть:

\(
\sqrt{1 — 3x^2} = 3x — 2.
\)

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\(
1 — 3x^2 = (3x — 2)^2.
\)

Раскроем правую часть:

\(
1 — 3x^2 = 9x^2 — 12x + 4.
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
1 — 3x^2 — 9x^2 + 12x — 4 = 0,
\)

что упрощается до:

\(
-12x^2 + 12x — 3 = 0.
\)

Умножим на \(-1\) для удобства:

\(
12x^2 — 12x + 3 = 0.
\)

Теперь делим всё на 3:

\(
4x^2 — 4x + 1 = 0.
\)

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

\(
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 — 16 = 0.
\)

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

\(
x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}.
\)

Теперь проверим значение синуса:

Для значения \(t = \arccos(x\sqrt{3})\):

\(
\sin t = \sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{1 — (x\sqrt{3})^2}.
\)

Подставляем \(x = \frac{1}{2}\):

\(
\cos(\arccos(x\sqrt{3})) = x\sqrt{3} = \frac{1}{2}\sqrt{3}.
\)

Следовательно,

\(
\sin(\arccos(x\sqrt{3})) = \sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.
\)

Теперь рассмотрим область определения:

Условия для существования функций:

1. \(1 — 3x^2 > 0\)
2. \(3x — 2 > 0\)

Решим первое неравенство:

\(
1 > 3x^2 — x^2 < \frac{1}{3} — |x| < \frac{1}{\sqrt{3}}.
\)

Решим второе неравенство:

\(
3x > 2 — x > \frac{2}{3}.
\)

Теперь объединим результаты. У нас есть два условия:

1. \( |x| < \frac{1}{\sqrt{3}} \)
2. \( x > \frac{2}{3} \)

Однако, значение \( \frac{2}{3} \) больше, чем \( \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \). Таким образом, не существует \( x \), которое удовлетворяет обоим условиям одновременно.

Ответ: корней нет.