ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\arcsin(x) = \arccos(3x — 1).
\)

Решить уравнение:
\(
\arcsin x = \arccos(3x — 1);
\)
\(
\cos(\arcsin x) = \cos(\arccos(3x — 1));
\)
\(
\sqrt{1 — x^2} = 3x — 1;
\)
\(
1 — x^2 = 9x^2 — 6x + 1;
\)
\(
10x^2 — 6x = 0;
\)
\(
x(10x — 6) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{5};
\)

1) Значение косинуса:
\(
\cos t = \sqrt{1 — \sin^2 t};
\)
\(
\sin(\arcsin x) = x;
\)
\(
\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 — x^2};
\)

2) Область определения:
\(
3x — 1 > 0, \quad x > 0;
\)
\(
x > \frac{1}{3};
\)

Ответ:
\(
x = \frac{3}{5}.
\)

Решить уравнение:

\(
\arcsin x = \arccos(3x — 1).
\)

Для того чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством, что \(\cos\) и \(\arccos\) являются обратными функциями, а также что \(\sin\) и \(\arcsin\) также являются обратными функциями. Применим косинус к обеим сторонам уравнения:

\(
\cos(\arcsin x) = \cos(\arccos(3x — 1)).
\)

Это даёт нам:

\(
\sqrt{1 — x^2} = 3x — 1.
\)

Теперь возведём обе стороны в квадрат:

\(
1 — x^2 = (3x — 1)^2.
\)

Раскроем правую часть:

\(
1 — x^2 = 9x^2 — 6x + 1.
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
1 — x^2 — 9x^2 + 6x — 1 = 0,
\)

что упрощается до:

\(
-10x^2 + 6x = 0.
\)

Умножим на \(-1\) для удобства:

\(
10x^2 — 6x = 0.
\)

Факторизуем уравнение:

\(
x(10x — 6) = 0.
\)

Отсюда получаем два решения:

1. \(x_1 = 0\)
2. \(x_2 = \frac{3}{5}\)

Теперь рассмотрим значение косинуса:

\(
\cos t = \sqrt{1 — \sin^2 t}.
\)

Для нашего случая:

\(
\sin(\arcsin x) = x,
\)
\(
\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 — x^2}.
\)

Теперь определим область определения. Условия, которые должны выполняться для значений \(x\):

1. \(3x — 1 > 0\)
2. \(x > 0\)

Решим первое неравенство:

\(
3x > 1 — x > \frac{1}{3}.
\)

Таким образом, область определения:

\(
x > \frac{1}{3}.
\)

Теперь проверим найденные корни на принадлежность области определения:

— \(x_1 = 0\) не удовлетворяет \(x > \frac{1}{3}\).
— \(x_2 = \frac{3}{5}\) удовлетворяет \(x > \frac{1}{3}\).

Таким образом, ответ:

\(
x = \frac{3}{5}.
\)