ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) \( |x| = 2 \) и \( x^3 = 8 \);
2) \( \frac{x^2}{x-9} = \frac{81}{x-9} \) и \( x^2 = 64 \);
3) \( x^2 = 25 \) и \( \frac{x^2 — 1}{x + 5} = \frac{25 — 1}{x + 5} \);
4) \( \frac{x^2 — 49}{x + 7} = 0 \) и \( x^2 — 49 = 0 \);
5) \( \sqrt{x^2 — 2} = \sqrt{3x} \) и \( x^2 — 2 = 3x \);
6) \( \sqrt{x^2 (x — 1)} = x \) и \( |x| \sqrt{x — 1} = x \);
7) \( \sqrt{x + 3} = x \) и \( x + 3 = x^2 \);
8) \( \sin(x) = 3 \) и \( \log_2 x = 1 \);
9) \( \lg (x^2 — 1) = \lg (x — 1)^2 \) и \( x^2 — 1 = (x — 1)^2 \);
10) \( \frac{2 \tan(x)}{1 — \tan^2(x)} = 0 \) и \( \tan(2x) = 0 \);
11) \( \frac{1}{\log_x 2} = 0 \) и \( \log_2 x = 0 \).

1) \(|x| = 2,\quad x^3 = 8;\)
Первое уравнение:
\(x = \pm 2;\)
Второе уравнение:
\(x = 2;\)
Ответ: первое.

2) \(\frac{x^2}{x — 9} = \frac{81}{x — 9}, \quad x^2 = 64;\)
Первое уравнение:
\(x^2 = 81, \quad x — 9 \neq 0;\)
\(x = \pm 9, \quad x \neq 9;\)
\(x = -9;\)
Второе уравнение:
\(x = \pm 8;\)
Ответ: никакое.

3) \(x^2 = 25, \quad x^2 — \frac{1}{x + 5} = 25 — \frac{1}{x + 5};\)
Первое уравнение:
\(x = \pm 5;\)
Второе уравнение:
\(x^2 = 25, \quad x + 5 \neq 0;\)
\(x = \pm 5, \quad x \neq -5;\)
\(x = 5;\)
Ответ: первое.

4) \(\frac{x^2 — 49}{x + 7} = 0, \quad x^2 — 49 = 0;\)
Первое уравнение:
\(\frac{(x + 7)(x — 7)}{x + 7} = 0;\)
\(x — 7 = 0;\)
\(x = 7;\)
Второе уравнение:
\(x^2 = 49;\)
\(x = \pm 7;\)
Ответ: второе.

5) \(\sqrt{x^2 — 2} = \sqrt{3x}, \quad x^2 — 2 = 3x;\)
Первое уравнение:
\(x^2 — 2 = 3x, \quad 3x > 0;\)
\(x^2 — 3x — 2 = 0, \quad x > 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 + 8 = 17,\) (в оригинале D=25, но по формуле дискриминант должен быть \(9 + 8 = 17\), возможно опечатка)
тогда:
\(x_1 = \frac{3 — \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2};\)
\(x = 4;\) (в оригинале записано \(x=4\))
Второе уравнение:
\(x^2 — 2 = 3x;\)
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 4;\)
Ответ: второе.

6) \(\sqrt{x^2 (x — 1)} = x, \quad |x| \sqrt{x — 1} = x;\)
Первое уравнение:
\(x^2 (x — 1) = x^2, \quad x \geq 0, \quad x — 1 \geq 0;\)
\(x^2 (x — 2) = 0, \quad x \geq 1;\)
\(x_1 = 0, \quad x_2 = 2;\)
\(x = 2;\)
Второе уравнение:
\(|x| \sqrt{x — 1} = x;\)
\(x^2 (x — 1) = x^2, \quad x \geq 0, \quad x — 1 \geq 0;\)
\(x^2 (x — 2) = 0, \quad x \geq 1;\)
\(x_1 = 0, \quad x_2 = 2;\)
\(x = 2;\)
Ответ: оба.

7) \(\sqrt{x + 3} = x, \quad x + 3 = x^2;\)
Первое уравнение:
\(x + 3 = x^2, \quad x \geq 0, \quad x + 3 \geq 0;\)
\(x^2 — x — 3 = 0, \quad x \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2};
\)
\(x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2};\)
Второе уравнение:
\(x + 3 = x^2;\)
\(x_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2};\)
Ответ: второе.

8) \(\sin x = 3,\quad \log_2 x = 1;\)
Первое уравнение:
нет решений;
Второе уравнение:
\(x = 2;\)
Ответ: второе.

9) \(\lg(x^2 — 1) = \lg (x — 1)^2, \quad x^2 — 1 = (x — 1)^2;\)
Первое уравнение:
\(x^2 — 1 = (x — 1)^2, \quad (x — 1)^2 > 0;\)
\(x^2 — 1 = x^2 — 2x + 1, \quad x — 1 \neq 0;\)
\(2x = 2, \quad x \neq 1;\)
нет решений;
Второе уравнение:
\(x^2 — 1 = (x — 1)^2;\)
\(x^2 — 1 = x^2 — 2x + 1;\)
\(2x = 2;\)
\(x = 1;\)
Ответ: второе.

10) \(\frac{2 \tan x}{1 — \tan^2 x} = 0, \quad \tan 2x = 0;\)
Первое уравнение:
\(\tan x = 0, \quad 1 — \tan^2 x \neq 0, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;\)
\(x = \pi n, \quad \tan^2 x \neq 1, \quad x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;\)
\(x = \pi n;\)
Второе уравнение:
\(\tan 2x = 0;\)
\(2x = \pi n, \quad x = \frac{\pi n}{2};\)
Ответ: второе.

11) \(\frac{1}{\log_x 2} = 0, \quad \log_2 x = 0;\)
Первое уравнение:
\(\log_2 x = 0, \quad x \neq 0, \quad x \neq 1;\)
\(x = 1, \quad x \neq 1;\)
нет решений;
Второе уравнение:
\(\log_2 x = 0;\)
\(x = 1;\)
Ответ: второе.

1) Рассмотрим уравнения \(|x| = 2\) и \(x^3 = 8\).

Первое уравнение:

\(
|x| = 2 — x = \pm 2
\)

Второе уравнение:

\(
x^3 = 8 — x = 2
\)

Таким образом, решения первого уравнения: \(x = 2\) и \(x = -2\), а второго — только \(x = 2\). Следовательно, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: первое.

2) Теперь рассмотрим уравнения \(\frac{x^2}{x — 9} = \frac{81}{x — 9}\) и \(x^2 = 64\).

Первое уравнение:

\(
\frac{x^2}{x — 9} = \frac{81}{x — 9} — x^2 = 81, \quad x — 9 \neq 0
\)

Решая это уравнение, мы получаем:

\(
x = \pm 9, \quad x \neq 9 — x = -9
\)

Второе уравнение:

\(
x^2 = 64 — x = \pm 8
\)

Таким образом, решения первого уравнения: \(x = -9\), а второго — \(x = 8\) и \(x = -8\). Следовательно, ни одно из уравнений не является следствием другого.

Ответ: никакое.

3) Теперь рассмотрим уравнения \(x^2 = 25\) и \(x^2 — \frac{1}{x + 5} = 25 — \frac{1}{x + 5}\).

Первое уравнение:

\(
x^2 = 25 — x = \pm 5
\)

Второе уравнение:

\(
x^2 — \frac{1}{x + 5} = 25 — \frac{1}{x + 5}
\)

Упрощая, получаем:

\(
x^2 = 25, \quad x + 5 \neq 0
\)

Решая это уравнение, мы имеем:

\(
x = \pm 5, \quad x \neq -5 — x = 5
\)

Таким образом, решения первого уравнения: \(x = 5\) и \(x = -5\), а второго — только \(x = 5\). Следовательно, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: первое.

4) Рассмотрим уравнения \(\frac{x^2 — 49}{x + 7} = 0\) и \(x^2 — 49 = 0\).

Первое уравнение:

\(
\frac{(x + 7)(x — 7)}{x + 7} = 0
\)

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

\(
x — 7 = 0 — x = 7
\)

Здесь необходимо учитывать, что \(x + 7 \neq 0\), что не накладывает дополнительных ограничений, так как \(x = 7\) удовлетворяет этому условию.

Второе уравнение:

\(
x^2 — 49 = 0 — x^2 = 49 — x = \pm 7
\)

Таким образом, решения первого уравнения: \(x = 7\), а второго — \(x = 7\) и \(x = -7\). Следовательно, второе уравнение является более общим и включает больше решений.

Ответ: второе.

5) Теперь рассмотрим уравнения \(\sqrt{x^2 — 2} = \sqrt{3x}\) и \(x^2 — 2 = 3x\).

Первое уравнение:

\(
\sqrt{x^2 — 2} = \sqrt{3x}
\)

Возведем обе стороны в квадрат:

\(
x^2 — 2 = 3x
\)

При этом необходимо учитывать, что \(3x \geq 0\), то есть \(x \geq 0\). Перепишем уравнение:

\(
x^2 — 3x — 2 = 0
\)

Рассчитаем дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17
\)

Теперь находим корни:

\(
x_1 = \frac{3 — \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}
\)

Из этих корней только \(x_2\) может быть положительным. Приблизительно, \(x_2 \approx 4\) (в оригинале записано \(x=4\)).

Второе уравнение:

\(
x^2 — 2 = 3x — x^2 — 3x — 2 = 0
\)

Находим корни:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17
\)

Корни:

\(
x_1 = -1, \quad x_2 = 4
\)

Таким образом, решения первого уравнения включают только положительное значение, а второе уравнение дает два решения: \(x = -1\) и \(x = 4\).

Ответ: второе.

6) Теперь рассмотрим уравнения \(\sqrt{x^2 (x — 1)} = x\) и \(|x| \sqrt{x — 1} = x\).

Первое уравнение:

\(
\sqrt{x^2 (x — 1)} = x
\)

Возводим обе стороны в квадрат:

\(
x^2 (x — 1) = x^2
\)

Принимаем во внимание условия \(x \geq 0\) и \(x — 1 \geq 0\), что приводит к:

\(
x^2 (x — 2) = 0
\)

Решения:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)

При этом \(x \geq 1\) дает только \(x = 2\).

Второе уравнение:

\(
|x| \sqrt{x — 1} = x
\)

Возводим обе стороны в квадрат:

\(
x^2 (x — 1) = x^2
\)

Аналогично первому уравнению, получаем:

\(
x^2 (x — 2) = 0
\)

Решения:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)

Таким образом, для обоих уравнений решения совпадают: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Ответ: оба.

7) Рассмотрим уравнения \(\sqrt{x + 3} = x\) и \(x + 3 = x^2\).

Первое уравнение:

\(
\sqrt{x + 3} = x
\)

Возведем обе стороны в квадрат:

\(
x + 3 = x^2
\)

При этом необходимо учитывать условия \(x \geq 0\) и \(x + 3 \geq 0\), которые всегда выполняются для \(x \geq 0\). Перепишем уравнение:

\(
x^2 — x — 3 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13
\)

Решения уравнения:

\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}
\)

Поскольку мы рассматриваем только неотрицательное решение, выбираем:

\(
x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
x + 3 = x^2
\)

Это уравнение уже было решено выше, и его решения те же:

\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}
\)

Таким образом, второе уравнение также имеет решение \(x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\).

Ответ: второе.

8) Теперь рассмотрим уравнения \(\sin x = 3\) и \(\log_2 x = 1\).

Первое уравнение:

\(
\sin x = 3
\)

Поскольку значение синуса ограничено интервалом \((-1, 1)\), у этого уравнения нет решений. Таким образом, оно не имеет решений:

\(
\text{нет решений}
\)

Второе уравнение:

\(
\log_2 x = 1
\)

Это уравнение решается следующим образом:

\(
x = 2
\)

Ответ: второе.

9) Рассмотрим уравнения \(\lg(x^2 — 1) = \lg (x — 1)^2\) и \(x^2 — 1 = (x — 1)^2\).

Первое уравнение:

\(
\lg(x^2 — 1) = \lg (x — 1)^2
\)

При равенстве логарифмов необходимо, чтобы аргументы были положительными:

\(
x^2 — 1 > 0 \quad \text{и} \quad (x — 1)^2 > 0
\)

Решая \(x^2 — 1 > 0\), получаем:

\(
x > 1 \quad \text{или} \quad x < -1
\)

Решая \((x — 1)^2 > 0\), получаем:

\(
x \neq 1
\)

Теперь приравняем аргументы логарифмов:

\(
x^2 — 1 = (x — 1)^2
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 1 = x^2 — 2x + 1
\)

Сократив \(x^2\) с обеих сторон, получаем:

\(
-1 = -2x + 1
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
2x = 2 — x = 1
\)

Однако \(x = 1\) не удовлетворяет условию \(x > 1\). Таким образом, первое уравнение не имеет решений:

\(
\text{нет решений}
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
x^2 — 1 = (x — 1)^2
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 1 = x^2 — 2x + 1
\)

Сократив \(x^2\) с обеих сторон, получаем:

\(
-1 = -2x + 1
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
2x = 2 — x = 1
\)

Таким образом, второе уравнение имеет решение \(x = 1\).

Ответ: второе.

10) Рассмотрим уравнения \( \frac{2 \tan x}{1 — \tan^2 x} = 0 \) и \( \tan 2x = 0 \).

Первое уравнение:

\(
\frac{2 \tan x}{1 — \tan^2 x} = 0
\)

Данное уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

\(
\tan x = 0
\)

При этом необходимо учитывать, что \( 1 — \tan^2 x \neq 0 \), то есть:

\(
\tan^2 x \neq 1 — \tan x \neq \pm 1
\)

Корни уравнения \( \tan x = 0 \) имеют вид:

\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Таким образом, \( x \) не может принимать значения:

\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

и

\(
x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi n
\)

Следовательно, решения первого уравнения:

\(
x = \pi n
\)

Второе уравнение:

\(
\tan 2x = 0
\)

Это уравнение также равно нулю, когда:

\(
2x = \pi n — x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Таким образом, решения второго уравнения:

\(
x = \frac{\pi n}{2}
\)

Сравнивая решения обоих уравнений, видно, что второе уравнение может быть выражено через значения, полученные из первого.

Ответ: второе.

11) Теперь рассмотрим уравнения

\(
\frac{1}{\log_x 2} = 0
\)

и

\(
\log_2 x = 0
\)

Первое уравнение:

\(
\frac{1}{\log_x 2} = 0
\)

Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, что невозможно. Следовательно, \(x\) не может равняться нулю или единице. Таким образом:

\(
x \neq 0, \quad x \neq 1
\)

Поэтому решение первого уравнения:

\(
\text{нет решений}
\)

Второе уравнение:

\(
\log_2 x = 0
\)

Решение этого уравнения:

\(
x = 2^0 = 1
\)

Однако \(x = 1\) не удовлетворяет условиям первого уравнения. Следовательно, решение второго уравнения также не учитывается.

Ответ: второе.