ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) \( x^2 + \frac{1}{x + 10} = 100 + \frac{1}{x + 10} \) и \( x^2 = 100 \);

2) \( \sqrt{x^2 — x — 1} = \sqrt{5x} \) и \( x^2 — x — 1 = 5x \);

3) \( \sqrt{x^2 — 4} = \sqrt{x + 2} \) и \( \sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2} = \sqrt{x + 2} \);

4) \( \sqrt{x + 7} = -x \) и \( x + 7 = x^2 \);

5) \( \cos(x) = -2 \) и \( e^{x^2 — x — 11} = 1 \);

6) \( \log_3 |x + 2| = 1 \) и \( \log_x |x + 2| \cdot \log_3 x = 1 \).

1)
\(
x^2 + \frac{1}{x+10} = 100 + \frac{1}{x+10}, \quad x^2 = 100;
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 = 100, \quad x + 10 \neq 0;
\)
\(
x = \pm 10, \quad x \neq -10;
\)
\(
x = 10;
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 = 100;
\)
\(
x = \pm 10;
\)

Ответ: второе.

2)
\(
\sqrt{x^2 — x — 1} = \sqrt{5x}, \quad x^2 — x — 1 = 5x;
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — x — 1 = 5x, \quad 5x \geq 0;
\)
\(
x^2 — 6x — 1 = 0, \quad x \geq 0;
\)
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 1 = 36 + 4 = 40,
\)
тогда:
\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10};
\)
\(
x = 3 + \sqrt{10};
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 — x — 1 = 5x;
\)
\(
x = 3 \pm \sqrt{10};
\)

Ответ: второе.

3)
\(
\sqrt{x^2 — 4} = \sqrt{x + 2}, \quad \sqrt{x — 2} \sqrt{x + 2} = \sqrt{x + 2};
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — 4 = x + 2, \quad x + 2 \geq 0;
\)
\(
(x + 2)(x — 2) = x + 2, \quad x \geq -2;
\)
\(
x — 2 = 1, \quad x + 2 = 0;
\)
\(
x_1 = 3, \quad x_2 = -2;
\)

Второе уравнение:
\(
(x — 2)(x + 2) = x + 2, \quad x — 2 \geq 0;
\)
\(
x — 2 = 1, \quad x + 2 = 0, \quad x \geq 2;
\)
\(
x_1 = 3, \quad x_2 = -2;
\)
\(
x = 3;
\)

Ответ: первое.

4)
\(
\sqrt{x + 7} = -x, \quad x + 7 = x^2;
\)

Первое уравнение:
\(
x + 7 = x^2, \quad -x \geq 0;
\)
\(
x^2 — x — 7 = 0, \quad x \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 7 = 1 + 28 = 29,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{29}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2};
\)
\(
x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2};
\)

Второе уравнение:
\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2};
\)

Ответ: второе.

5)
\(
\cos x = -2, \quad e^{x^2 — x — 11} = 1;
\)

Первое уравнение:
\(
\text{нет решений};
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 — x — 11 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 11 = 1 + 44 = 45,
\)
тогда:
\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2};
\)

Ответ: второе.

6)
\(
\log_3 |x + 2| = 1, \quad \log_x |x + 2| \cdot \log_3 x = 1;
\)

Первое уравнение:
\(
|x + 2| = 3;
\)
\(
x + 2 = -3, \quad x + 2 = 3;
\)
\(
x_1 = -5, \quad x_2 = 1;
\)

Второе уравнение:
\(
\log_x |x + 2| = \log_x 3;
\)
\(
|x + 2| = 3, \quad x > 0, \quad x \neq 1;
\)
\(
x_1 = -5, \quad x_2 = 1;
\)
Условия \(x > 0\) и \(x \neq 1\) не выполняются для найденных корней, значит:
\(
\text{нет решений};
\)

Ответ: первое.

1)
Дано уравнение:
\(
x^2 + \frac{1}{x+10} = 100 + \frac{1}{x+10}
\)

Вынесем одинаковые слагаемые:
\(
x^2 + \frac{1}{x+10} — 100 — \frac{1}{x+10} = 0 — x^2 — 100 = 0
\)

Таким образом, первое уравнение эквивалентно:
\(
x^2 = 100, \quad x + 10 \neq 0
\)

Решаем:
\(
x = \pm 10, \quad \text{но } x \neq -10
\)

Отсюда:
\(
x = 10
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 = 100
\)

Решения:
\(
x = \pm 10
\)

Ответ: второе

2)
Дано уравнение:
\(
\sqrt{x^2 — x — 1} = \sqrt{5x}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
x^2 — x — 1 = 5x
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 1 — 5x = 0 — x^2 — 6x — 1 = 0
\)

Условие подкоренного выражения справа:
\(
5x \geq 0 — x \geq 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40
\)

Корни:
\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}
\)

С учетом ограничения \(x \geq 0\) выбираем:
\(
x = 3 + \sqrt{10}
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 — x — 1 = 5x
\)

Решения те же:
\(
x = 3 \pm \sqrt{10}
\)

Ответ: второе

3)
Дано уравнение:
\(
\sqrt{x^2 — 4} = \sqrt{x + 2}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
x^2 — 4 = x + 2
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 6 = 0
\)

Разложим:
\(
(x — 3)(x + 2) = 0
\)

Корни:
\(
x = 3, \quad x = -2
\)

Условие подкоренных выражений:
\(
x + 2 \geq 0 — x \geq -2
\)

Проверяем корни:
Для \(x=3\):
\(
\sqrt{9 — 4} = \sqrt{5}, \quad \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}
\)

Для \(x=-2\):
\(
\sqrt{4 — 4} = 0, \quad \sqrt{-2 + 2} = 0
\)

Оба корня подходят.

Второе уравнение:
\(
\sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2} = \sqrt{x + 2}
\)

Если \(\sqrt{x + 2} \neq 0\), можно сократить:
\(
\sqrt{x — 2} = 1
\)

Возводим в квадрат:
\(
x — 2 = 1 — x = 3
\)

Условие подкоренных:
\(
x — 2 \geq 0 — x \geq 2
\)

Проверяем корень \(x = -2\) — не подходит, так как \(x < 2\).

Ответ: первое

4)
Дано уравнение:
\(
\sqrt{x + 7} = -x
\)

Так как левая часть — корень, она неотрицательна, значит:
\(
-x \geq 0 — x \leq 0
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
x + 7 = x^2
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — x — 7 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29
\)

Корни:
\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}
\)

Проверяем условие \(x \leq 0\):

\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1 — 5.385}{2} = \frac{-4.385}{2} = -2.1925 \leq 0
\)

\(
x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1 + 5.385}{2} = \frac{6.385}{2} = 3.1925 > 0
\)

Только \(x_1\) подходит.

Второе уравнение:
\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}
\)

Ответ: второе

5)
Дано уравнение:
\(
\cos x = -2
\)

Значение косинуса лежит в интервале \([-1,1]\), значит решений нет:
\(
\text{нет решений}
\)

Второе уравнение:
\(
e^{x^2 — x — 11} = 1
\)

Экспонента равна 1, если показатель равен 0:
\(
x^2 — x — 11 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 1 + 44 = 45
\)

Корни:
\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}
\)

Ответ: второе уравнение.

6)
Дано уравнение:
\(
\log_3 |x + 2| = 1
\)

Первое уравнение:
\(
|x + 2| = 3
\)

Решаем:
\(
x + 2 = 3 — x = 1
\)

\(
x + 2 = -3 — x = -5
\)

Второе уравнение:
\(
\log_x |x + 2| \cdot \log_3 x = 1
\)

Из условия:
\(
\log_x |x + 2| = \log_x 3
\)

Значит:
\(
|x + 2| = 3
\)

При этом основания логарифмов должны удовлетворять:
\(
x > 0, \quad x \neq 1
\)

Из корней первого уравнения \(x = 1\) и \(x = -5\), только \(x=1\) положительно, но \(x \neq 1\) по условию, значит решений нет.

Ответ: первое уравнение.