ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Как может измениться — расшириться или сузиться — множество корней данного уравнения, если:

1) уравнение \((|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6\) заменить на уравнение \(f(x) = 2\);

2) уравнение \((\tan^2(x) + 1) f(x) = \tan^2(x) + 1\) заменить на уравнение \(f(x) = 1\);

3) уравнение \(\frac{f(x)}{x^2 + 3} = 0\) заменить на уравнение \(f(x) = 0\);

4) уравнение \(\frac{f(x)}{\log^2 x} = 0\) заменить на уравнение \(f(x) = 0\);

5) уравнение \((x + 1) f(x) = 3 (x + 1)\) заменить на уравнение \(f(x) = 3\);

6) уравнение \((\sqrt{x} — 1) f(x) = \sqrt{x} — 1\) заменить на уравнение \(f(x) = 1\);

7) уравнение \(\log_2 f(x) = 0\) заменить на уравнение \(f(x) = 1\);

8) уравнение \(\log_x f(x) = 0\) заменить на уравнение \(f(x) = 1\).

1)
\(
(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6, \quad f(x) = 2;
\)
\(
(|x| + 3) f(x) = 2(|x| + 3);
\)
\(
f(x) = 2;
\)
\(
|x| + 3 = 0;
\)
Решений нет;

Ответ: никак.

2)
\(
(\tan^2 x + 1) f(x) = \tan^2 x + 1, \quad f(x) = 1;
\)
\(
f(x) = 1;
\)
\(
\tan^2 x + 1 = 0;
\)
Решений нет;
\(
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Ответ: может расшириться на \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\).

3)
\(
\frac{f(x)}{x^2 + 3} = 0, \quad f(x) = 0;
\)
\(
f(x) = 0;
\)
\(
x^2 + 3 = 0;
\)
Решений нет;

Ответ: никак.

4)
\(
\frac{f(x)}{\lg^2 x + 1} = 0, \quad f(x) = 0;
\)
\(
f(x) = 0;
\)
\(
\lg^2 x + 1 = 0;
\)
Решений нет;
\(
x > 0;
\)
Ответ: может расшириться на \(x \in (-\infty; 0]\).

5)
\(
(x + 1) f(x) = 3(x + 1), \quad f(x) = 3;
\)
\(
f(x) = 3;
\)
\(
x + 1 = 0;
\)
\(
x = -1;
\)
Ответ: может сузиться на \(x = -1\).

6)
\(
(\sqrt{x} — 1) f(x) = \sqrt{x} — 1, \quad f(x) = 1;
\)
\(
f(x) = 1;
\)
\(
\sqrt{x} — 1 = 0;
\)
\(
x = 1;
\)
\(
x \geq 0;
\)
Ответ: может сузиться на \(x = 1\);
может расшириться на \(x \in (-\infty; 0)\).

7)
\(
\log_2 f(x) = 0, \quad f(x) = 1;
\)
\(
f(x) = 1;
\)
\(
f(x) > 0;
\)
Ответ: никак.

8)
\(
\log f(x) = 0, \quad f(x) = 1;
\)
\(
f(x) = 1;
\)
\(
x > 0, \quad x \neq 1;
\)
Ответ: может расшириться на \(x = 1\) и \(x \leq 0\).

1)
Рассмотрим уравнение
\(
(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6,
\)
при условии
\(
f(x) = 2.
\)
Подставим \(f(x) = 2\) в уравнение:
\(
(|x| + 3) \cdot 2 = 2|x| + 6.
\)
Раскроем скобки:
\(
2|x| + 6 = 2|x| + 6.
\)
Это тождество, верное для всех \(x\). Теперь рассмотрим уравнение
\(
|x| + 3 = 0.
\)
Поскольку \(|x| \geq 0\), то \(|x| + 3 \geq 3 > 0\), решений нет.
Ответ: множество корней не изменится, то есть никак.

2)
Дано уравнение
\(
(\tan^2 x + 1) f(x) = \tan^2 x + 1,
\)
при условии
\(
f(x) = 1.
\)
Подставим \(f(x) = 1\):
\(
(\tan^2 x + 1) \cdot 1 = \tan^2 x + 1,
\)
что тождественно верно. Рассмотрим уравнение
\(
\tan^2 x + 1 = 0.
\)
Поскольку \(\tan^2 x \geq 0\), то \(\tan^2 x + 1 \geq 1 > 0\), решений нет.
Однако функция \(\tan x\) не определена в точках
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)
Таким образом, множество решений может расшириться, включив эти точки.
Ответ: множество решений может расшириться на \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\).

3)
Рассмотрим уравнение
\(
\frac{f(x)}{x^2 + 3} = 0,
\)
при условии
\(
f(x) = 0.
\)
Подставим \(f(x) = 0\):
\(
\frac{0}{x^2 + 3} = 0,
\)
что верно для всех \(x\). Рассмотрим уравнение
\(
x^2 + 3 = 0.
\)
Так как \(x^2 \geq 0\), то \(x^2 + 3 \geq 3 > 0\), решений нет.
Ответ: множество корней не изменится, то есть никак.

4)
Дано уравнение
\(
\frac{f(x)}{\lg^2 x + 1} = 0,
\)
при условии
\(
f(x) = 0.
\)
Подставим \(f(x) = 0\):
\(
\frac{0}{\lg^2 x + 1} = 0,
\)
что верно при \(\lg^2 x + 1 \neq 0\). Рассмотрим уравнение
\(
\lg^2 x + 1 = 0.
\)
Поскольку \(\lg^2 x \geq 0\), то \(\lg^2 x + 1 \geq 1 > 0\), решений нет.
Область определения логарифма: \(x > 0\).
Ответ: множество решений может расшириться на интервал \(x \in (-\infty; 0]\) (то есть включить отрицательные значения, где логарифм не определён).

5)
Рассмотрим уравнение
\(
(x + 1) f(x) = 3 (x + 1),
\)
при условии
\(
f(x) = 3.
\)
Подставим \(f(x) = 3\):
\(
(x + 1) \cdot 3 = 3 (x + 1),
\)
что верно для всех \(x\). Рассмотрим уравнение
\(
x + 1 = 0,
\)
откуда
\(
x = -1.
\)
В точке \(x = -1\) выражение \(x + 1\) обращается в ноль, что может сузить множество решений.
Ответ: множество решений может сузиться на \(x = -1\).

6)
Дано уравнение
\(
(\sqrt{x} — 1) f(x) = \sqrt{x} — 1,
\)
при условии
\(
f(x) = 1.
\)
Подставим \(f(x) = 1\):
\(
(\sqrt{x} — 1) \cdot 1 = \sqrt{x} — 1,
\)
что верно для всех \(x\). Рассмотрим уравнение
\(
\sqrt{x} — 1 = 0,
\)
откуда
\(
\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1.
\)
Область определения корня: \(x \geq 0\).
В точке \(x=1\) выражение \(\sqrt{x} — 1\) обращается в ноль, что может сузить множество решений.
Также множество решений может расшириться, включив значения \(x < 0\), где исходное уравнение может быть не определено.
Ответ: множество решений может сузиться на \(x = 1\); может расшириться на \(x \in (-\infty; 0)\).

7)
Рассмотрим уравнение
\(
\log_2 f(x) = 0,
\)
при условии
\(
f(x) = 1.
\)
Из уравнения получаем:
\(
\log_2 f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 2^0 = 1.
\)
Условие \(f(x) = 1\) совпадает с решением. Также функция логарифма определена при \(f(x) > 0\).
Ответ: множество решений не изменится, то есть никак.

8)
Рассмотрим уравнение
\(
\log f(x) = 0,
\)
при условии
\(
f(x) = 1.
\)
Из уравнения:
\(
\log f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 1.
\)
Область определения логарифма:
\(
x > 0, \quad x \neq 1.
\)
Таким образом, множество решений может расшириться, включив \(x = 1\) и все \(x \leq 0\), где исходное уравнение не определено.
Ответ: множество решений может расшириться на \(x = 1\) и \(x \leq 0\).