ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^2 + (\sqrt{x — 2})^2 — 5 = 0; \)

2) \( 2x^2 + (\sqrt{x — 1})^2 — 5 = 0. \)

1)
\(
x^2 + (\sqrt{x — 2})^2 — 5 = 0;
\)
\(
x^2 + x — 2 — 5 = 0, \quad x — 2 \geq 0;
\)
\(
x^2 + x — 7 = 0, \quad x \geq 2;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 7 = 1 + 28 = 29,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{29}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2};
\)
Ответ:
\(
\frac{\sqrt{29} — 1}{2}.
\)

2)
\(
2x^2 + (\sqrt{x — 1})^2 — 5 = 0;
\)
\(
2x^2 + x — 1 — 5 = 0, \quad x — 1 \geq 0;
\)
\(
2x^2 + x — 6 = 0, \quad x \geq 1;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = 1.5;
\)
Ответ: 1.5.

Задача 1

Дано уравнение:
\(
x^2 + (\sqrt{x — 2})^2 — 5 = 0.
\)

Так как \((\sqrt{x — 2})^2 = x — 2\), перепишем уравнение:
\(
x^2 + x — 2 — 5 = 0.
\)

Упростим:
\(
x^2 + x — 7 = 0.
\)

Область определения корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть
\(
x — 2 \geq 0 — x \geq 2.
\)

Теперь решим квадратное уравнение:
\(
x^2 + x — 7 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{29}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}.
\)

Проверим, какие из корней удовлетворяют области определения \(x \geq 2\):

— Для \(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{29}}{2}\) значение отрицательное (так как \(\sqrt{29} \approx 5.385\)), значит \(x_1 < 0\), не подходит.
— Для \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{-1 + 5.385}{2} = \frac{4.385}{2} = 2.1925\), подходит, так как \(2.1925 \geq 2\).

Ответ:
\(
x = \frac{\sqrt{29} — 1}{2}.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
2x^2 + (\sqrt{x — 1})^2 — 5 = 0.
\)

Так как \((\sqrt{x — 1})^2 = x — 1\), перепишем уравнение:
\(
2x^2 + x — 1 — 5 = 0.
\)

Упростим:
\(
2x^2 + x — 6 = 0.
\)

Область определения корня:
\(
x — 1 \geq 0 — x \geq 1.
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
2x^2 + x — 6 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5.
\)

Проверим корни на область определения \(x \geq 1\):

— \(x_1 = -2\) не подходит, так как меньше 1.
— \(x_2 = 1.5\) подходит.

Ответ:
\(
x = 1.5.
\)