ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{cases}
1) \quad x^2 — \left(\sqrt{x+3}\right)^2 — 8 = 0, \\
2) \quad 3x^2 — 11 \left(\sqrt{2x — 1}\right)^2 — 4 = 0.
\end{cases}
\)

1)
\(
x^2 — \left(\sqrt{x+3}\right)^2 — 8 = 0;
\)

Преобразуем:
\(
x^2 — (x+3) — 8 = 0, \quad x+3 \geq 0;
\)
\(
x^2 — x — 11 = 0, \quad x \geq -3;
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 11 = 1 + 44 = 45,
\)

Тогда корни:
\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2};
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}.
\)

2)
\(
3x^2 — 11\left(\sqrt{2x — 1}\right)^2 — 4 = 0;
\)

Преобразуем:
\(
3x^2 — 11(2x — 1) — 4 = 0, \quad 2x — 1 \geq 0;
\)
\(
3x^2 — 22x + 11 — 4 = 0, \quad 2x \geq 1;
\)
\(
3x^2 — 22x + 7 = 0, \quad x \geq 0.5;
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = (-22)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 — 84 = 400,
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{22 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},
\)
\(
x_2 = \frac{22 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7.
\)

Учитывая область определения (x \geq 0.5), подходит только
\(
x = 7.
\)

Ответ:
\(
x = 7.
\)

1)
Решим уравнение

\(
x^2 — \left(\sqrt{x+3}\right)^2 — 8 = 0.
\)

Преобразуем его:

\(
x^2 — (x+3) — 8 = 0, \quad x+3 \geq 0.
\)

Это можно записать как:

\(
x^2 — x — 11 = 0, \quad x \geq -3.
\)

Теперь вычислим дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 11 = 1 + 44 = 45.
\)

Корни уравнения можно найти по формуле:

\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}.
\)

Ответ:

\(
x = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}.
\)

2)
Решим уравнение

\(
3x^2 — 11\left(\sqrt{2x — 1}\right)^2 — 4 = 0.
\)

Преобразуем его:

\(
3x^2 — 11(2x — 1) — 4 = 0, \quad 2x — 1 \geq 0.
\)

Это можно записать как:

\(
3x^2 — 22x + 11 — 4 = 0, \quad 2x \geq 1.
\)

Упрощаем уравнение:

\(
3x^2 — 22x + 7 = 0, \quad x \geq 0.5.
\)

Теперь вычислим дискриминант:

\(
D = (-22)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 — 84 = 400.
\)

Корни уравнения можно найти по формуле:

\(
x_1 = \frac{22 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},
\)
\(
x_2 = \frac{22 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7.
\)

Учитывая область определения \( x \geq 0.5 \), подходит только

\(
x = 7.
\)

Ответ:

\(
x = 7.
\)