ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1. \( \frac{\sin(2x)}{1 + \tan^2(x)} = 0 \)

2. \( \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = 0 \)

3. \( \frac{2\sin^2(x) + 3\sin(x)}{1 — \cos(x)} = 0 \)

1) \( \frac{\sin 2x}{1 + \tan^2 x} = 0; \)
\( \sin 2x = 0; \)
\( 2x = \pi n; \quad n \in \mathbb{N} \)
Область определения:
\( 1 + \tan^2 x \neq 0; \)
\( x \in \mathbb{R}, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
Ответ: \( x = \pi n. \)

2) \( \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 0; \)
\( \sin x = 0; \)
\( x = \pi n; \quad n \in \mathbb{Z}. \)

Область определения:
\( 1 + \cos x = 0; \)
\( \cos x = -1; \)
\( x = \pi + 2\pi n; \)
Ответ: \( x = 2\pi n. \)

3)
\( \frac{2\sin^2 x + 3\sin x}{1 — \cos x} = 0; \)
\( 2\sin^2 x + 3\sin x = 0; \)
\( \sin x \cdot (2\sin x + 3) = 0; \)
\( \sin x = 0; \)
\( x = \pi n; \)

Область определения:
\( 1 — \cos x \neq 0; \)
\( \cos x = 1; \)
\( x = 2\pi n; \)

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n. \)

1) Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{\sin 2x}{1 + \tan^2 x} = 0.
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(
\sin 2x = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{N}.
\)

Теперь определим область определения. Условие для знаменателя:

\(
1 + \tan^2 x \neq 0.
\)

Так как \(1 + \tan^2 x\) всегда положительно, необходимо также учитывать, что:

\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = \pi n.
\)

2) Рассмотрим следующее уравнение:

\(
\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 0.
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(
\sin x = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Теперь определим область определения. Условие для знаменателя:

\(
1 + \cos x = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
\cos x = -1,
\)
что приводит к следующему решению:

\(
x = \pi + 2\pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = 2\pi n.
\)

3) Рассмотрим следующее уравнение:

\(
\frac{2\sin^2 x + 3\sin x}{1 — \cos x} = 0.
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(
2\sin^2 x + 3\sin x = 0.
\)

Факторизуем это уравнение:

\(
\sin x (2\sin x + 3) = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем два случая. Первый случай:

\(
\sin x = 0,
\)
что даёт решение:

\(
x = \pi n.
\)

Теперь определим область определения. Условие для знаменателя:

\(
1 — \cos x \neq 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
\cos x = 1,
\)
что приводит к следующему решению:

\(
x = 2\pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = \pi + 2\pi n.
\)