ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 25.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)

\(
\frac{\sin(2x)}{1 + \cot^2(x)} = 0;
\)

2)

\(
\frac{\sin(2x)}{1 — \sin(x)} = 2\cos(x).
\)

1)
\(
\frac{\sin 2x}{1 + \text{ctg}^2 x} = 0;
\)
\(
\sin 2x = 0;
\)
\(
2x = \pi n;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Область определения:
\(
1 + \text{ctg}^2 x \neq 0;
\)
\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq \pi n;
\)
Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

2)
\(
\frac{\sin 2x}{1 — \sin x} = 2\cos x;
\)
\(
2\cos x \sin x — 2\cos x = 0;
\)
\(
2\cos x \cdot \frac{\sin x — 1}{1 — \sin x} = 0;
\)
\(
\cos x \cdot \frac{\sin x — 1 + \sin x}{1 — \sin x} = 0;
\)
\(
\cos x \cdot \frac{2\sin x — 1}{1 — \sin x} = 0;
\)
\(
\cos x = 0, \quad \sin x = \frac{1}{2};
\)
\(
x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x_2 = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)

Область определения:
\(
1 — \sin x \neq 0;
\)
\(
\sin x \neq 1;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.
\)

1) Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{\sin 2x}{1 + \text{ctg}^2 x} = 0.
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(
\sin 2x = 0.
\)

Решая это уравнение, получаем:

\(
2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Следовательно, деля обе стороны на 2, мы находим:

\(
x = \frac{\pi}{2} n.
\)

Теперь определим область определения. Условие для знаменателя:

\(
1 + \text{ctg}^2 x \neq 0.
\)

Так как \(1 + \text{ctg}^2 x\) всегда положительно, необходимо также учитывать, что:

\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq \pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ для первого уравнения:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

2) Рассмотрим следующее уравнение:

\(
\frac{\sin 2x}{1 — \sin x} = 2\cos x.
\)

Умножим обе стороны на \(1 — \sin x\) (при условии, что \(1 — \sin x \neq 0\)):

\(
\sin 2x = 2\cos x (1 — \sin x).
\)

Раскроем скобки:

\(
\sin 2x = 2\cos x — 2\cos x \sin x.
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
2\cos x \sin x — 2\cos x = 0.
\)

Факторизуем выражение:

\(
2\cos x (\sin x — 1) = 0.
\)

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. \(2\cos x = 0\)
2. \(\sin x — 1 = 0\)

Решая первое уравнение:

\(
\cos x = 0,
\)
мы получаем:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

Решая второе уравнение:

\(
\sin x = 1,
\)
мы получаем:

\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.
\)

Теперь определим область определения. Условие для знаменателя:

\(
1 — \sin x \neq 0.
\)

Это приводит к условию:

\(
\sin x \neq 1,
\)
что означает, что:

\(
x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n.
\)

Таким образом, окончательный ответ для второго уравнения:

\(
x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.
\)