ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1) \(|x^2 — 7x + 3| = |x — 4|\);
2) \(|x^2 — 3x — 1| = x — 1\);
3) \(\sqrt{4x^2 — 5x} = \sqrt{3x^2 — 2x — 2}\);
4) \(\sqrt{3x + 7} = 7 — x\);
5) \(7^{2x + 3} = 7^{3 — x}\);
6) \(\log_3 (x^2 — 7) = \log_3 (-x — 1)\).

1) \(|x^2 — 7x + 3| = |x — 4|\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — 7x + 3 = -x + 4;
\)
\(
x^2 — 6x — 1 = 0;
\)
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 1 = 36 + 4 = 40, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}.
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 — 7x + 3 = x — 4;
\)
\(
x^2 — 8x + 7 = 0;
\)
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7.
\)

Ответ:
\(
x = 1; \quad x = 7; \quad x = 3 \pm \sqrt{10}.
\)

2) \(|x^2 — 3x — 1| = x — 1\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — 3x — 1 = -x + 1;
\)
\(
x^2 — 2x + 2 = 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -12, \text{ тогда:}
\)
\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 — 3x — 1 = x — 1;
\)
\(
x^2 — 4x = 0;
\)
\(
x(x — 4) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 4;
\)

Область определения:
\(
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\)

Ответ:
\(
x = 4; \quad x = 1 + \sqrt{3}.
\)

3)
\(
\sqrt{4x^2 — 5x} = \sqrt{3x^2 — 2x — 2};
\)
\(
4x^2 — 5x = 3x^2 — 2x — 2;
\)
\(
x^2 — 3x + 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Область определения:
\(
4x^2 — 5x \geq 0;
\)
\(
x(4x — 5) \geq 0;
\)
\(
x \in (0; 1.25).
\)

Ответ:
\(
x = 2.
\)

4)
\(
\sqrt{3x + 7} = 7 — x;
\)
\(
3x + 7 = 49 — 14x + x^2;
\)
\(
x^2 — 17x + 42 = 0;
\)
\(
D = 17^2 — 4 \cdot 42 = 289 — 168 = 121, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{17 — 11}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{17 + 11}{2} = 14.
\)

Область определения:
\(
7 — x \geq 0, \quad x \leq 7.
\)

Ответ:
\(
x = 3.
\)

5)
\(
7^{2x + 3} = 7^{3 — x};
\)
\(
2x + 3 = 3 — x;
\)
\(
3x = 0;
\)
\(
x = 0.
\)

Ответ:
\(
x = 0.
\)

6)
\(
\log_3(x^2 — 7) = \log_3(-x — 1);
\)
\(
x^2 — 7 = -x — 1;
\)
\(
x^2 + x — 6 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.
\)

Область определения:
\(
-x — 1 > 0, \quad x \leq -1.
\)

Ответ:
\(
x = -3.
\)

Решите уравнение:

1) \(|x^2 — 7x + 3| = |x — 4|\)

Первое уравнение:

\(
x^2 — 7x + 3 = -x + 4.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 — 7x + x + 3 — 4 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 6x — 1 = 0.
\)

Теперь находим дискриминант:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40.
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}.
\)

Второе уравнение:

\(
x^2 — 7x + 3 = x — 4.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 — 7x — x + 3 + 4 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 8x + 7 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36.
\)

Корни уравнения:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1,
\)

\(
x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7.
\)

Ответ:

\(
x = 1; \quad x = 7; \quad x = 3 \pm \sqrt{10}.
\)

Решите уравнение:

2) \(|x^2 — 3x — 1| = x — 1\)

Первое уравнение:

\(
x^2 — 3x — 1 = -x + 1.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 — 3x + x — 1 — 1 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 2x — 2 = 0.
\)

Теперь находим дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
\)

Второе уравнение:

\(
x^2 — 3x — 1 = x — 1.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 — 3x — x + 1 — 1 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 4x = 0.
\)

Факторизуем уравнение:

\(
x(x — 4) = 0.
\)

Таким образом, получаем:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 4.
\)

Теперь определим область определения. Условие для второго уравнения:

\(
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1.
\)

Теперь проверим найденные корни:

Для \(x_1 = 0\): не удовлетворяет условию \(x \geq 1\).
Для \(x_2 = 4\): удовлетворяет условию \(x \geq 1\).

Ответ:

\(
x = 4; \quad x = 1 + \sqrt{3}.
\)

Решите уравнение:

3)
\(
\sqrt{4x^2 — 5x} = \sqrt{3x^2 — 2x — 2}.
\)

Квадратируем обе стороны уравнения:

\(
4x^2 — 5x = 3x^2 — 2x — 2.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
4x^2 — 5x — 3x^2 + 2x + 2 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 3x + 2 = 0.
\)

Теперь находим дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}.
\)

Таким образом, получаем:

\(
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Теперь определим область определения. Условие для подкоренного выражения:

\(
4x^2 — 5x \geq 0.
\)

Факторизуем неравенство:

\(
x(4x — 5) \geq 0.
\)

Находим нули функции:

\(
x = 0 \quad \text{и} \quad 4x — 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4} = 1.25.
\)

Теперь анализируем знак произведения \(x(4x — 5)\):

— При \(x < 0\): \(x < 0\) и \(4x — 5 < 0\) (знак отрицательный).
— При \(0 < x < 1.25\): \(x > 0\) и \(4x — 5 < 0\) (знак отрицательный).
— При \(x > 1.25\): \(x > 0\) и \(4x — 5 > 0\) (знак положительный).

Таким образом, неравенство выполняется при:

\(
x \in (-\infty, 0) \cup (1.25, +\infty).
\)

Теперь проверим найденные корни:

Для \(x_1 = 1\): не удовлетворяет области определения.
Для \(x_2 = 2\): удовлетворяет области определения.

Ответ:

\(
x = 2.
\)

Рассмотрим уравнение:

\(
\sqrt{3x + 7} = 7 — x
\)

Для решения сначала избавимся от радикала, возведя обе части уравнения в квадрат:

\(
3x + 7 = (7 — x)^2
\)

Раскроем квадрат правой части:

\(
3x + 7 = 49 — 14x + x^2
\)

Переносим все выражения в одну часть уравнения:

\(
x^2 — 14x — 3x + 49 — 7 = 0
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 17x + 42 = 0
\)

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

\(
D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 — 168 = 121
\)

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), уравнение имеет два корня:

\(
x_1 = \frac{-(-17) — \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{17 — 11}{2} = \frac{6}{2} = 3
\)

\(
x_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 11}{2} = \frac{28}{2} = 14
\)

Теперь проверим область определения исходного уравнения. Для выражения под корнем:

\(
\sqrt{3x + 7} \quad \text{определена, если} \quad 3x + 7 \geq 0
\)

Решим неравенство:

\(
3x + 7 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x \geq -7 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{7}{3}
\)

Для второго выражения \(7 — x\):

\(
7 — x \quad \text{определено, если} \quad 7 — x \geq 0
\)

Решим это неравенство:

\(
7 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 7
\)

Таким образом, область определения уравнения:

\(
x \in (-\frac{7}{3}; 7)
\)

Теперь проверим корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 14\) на принадлежность области определения.

1. Для \(x_1 = 3\):
Проверим, удовлетворяет ли корень исходному уравнению:
\(
\sqrt{3 \cdot 3 + 7} = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4
\)
Сравним с правой частью:
\(
7 — 3 = 4
\)
Значение совпадает, корень \(x = 3\) подходит.

2. Для \(x_2 = 14\):
Проверим, удовлетворяет ли корень исходному уравнению:
\(
\sqrt{3 \cdot 14 + 7} = \sqrt{42 + 7} = \sqrt{49} = 7
\)
Сравним с правой частью:
\(
7 — 14 = -7
\)
Значение не совпадает, корень \(x = 14\) не подходит.

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = 3
\)

Решите уравнение:

5)
\(
7^{2x + 3} = 7^{3 — x}
\)

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степени:

\(
2x + 3 = 3 — x
\)

Теперь решим это линейное уравнение. Сначала перенесем \(x\) в левую часть:

\(
2x + x + 3 = 3
\)

Упрощаем:

\(
3x + 3 = 3
\)

Теперь вычтем 3 из обеих сторон уравнения:

\(
3x = 0
\)

Делим обе стороны на 3:

\(
x = 0
\)

Ответ:

\(
x = 0
\)

Решите уравнение:

6)
\(
\log_3(x^2 — 7) = \log_3(-x — 1)
\)

Поскольку логарифмы равны, приравниваем их аргументы:

\(
x^2 — 7 = -x — 1
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 + x — 6 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), уравнение имеет два корня:

\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3
\)

\(
x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2
\)

Теперь определим область определения. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

Для первого логарифма:

\(
x^2 — 7 > 0 \Rightarrow x^2 > 7 \Rightarrow x < -\sqrt{7} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{7}
\)

Для второго логарифма:

\(
-x — 1 > 0 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1
\)

Теперь объединим условия:

1. \(x < -\sqrt{7}\) или \(x > \sqrt{7}\)
2. \(x < -1\)

Так как \(-\sqrt{7} \approx -2.645\), область определения будет:

\(
x < -\sqrt{7} \quad \text{или} \quad x < -1
\)

Таким образом, допустимое значение из корней \(x_1 = -3\) удовлетворяет условию.

Ответ:

\(
x = -3
\)