ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
(x + 1)(x — 5)(x + 2)(x + 8) = -360;
\)

2)
\(
(x^2 + 3x)(x + 5)(x + 8) = 100.
\)

1) \((x + 1)(x — 5)(x + 2)(x + 8) = -360;\)
\((x^2 + 2x + x + 2)(x^2 + 8x — 5x — 40) = -360;\)
\((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x — 40) = -360;\)

Пусть \(y = x^2 + 3x\), тогда:
\((y + 2)(y — 40) = -360;\)

\(
y^2 — 40y + 2y — 80 = -360;
\)

\(
y^2 — 38y + 280 = 0;
\)

\(
D = 38^2 — 4 \cdot 280 = 1444 — 1120 = 324,
\)

тогда:

\(
y_1 = \frac{38 — 18}{2} = 10 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{38 + 18}{2} = 28;
\)

Первое значение:

\(
x^2 + 3x = 10;
\)

\(
x^2 + 3x — 10 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;
\)

Второе значение:

\(
x^2 + 3x = 28;
\)

\(
x^2 + 3x — 28 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-3 — 11}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4;
\)

Ответ: \(-7; -5; 2; 4.\)

2) \((x^2 + 3x)(x + 5)(x + 8) = 100;\)
\(x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100;\)
\((x^2 + 8x)(x^2 + 5x + 3x + 15) = 100;\)
\((x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) = 100;\)

Пусть \(y = x^2 + 8x\), тогда:
\(
y(y + 15) = 100;
\)

\(
y^2 + 15y — 100 = 0;
\)

\(
D = 15^2 + 4 \cdot 100 = 225 + 400 = 625,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-15 — 25}{2} = -20, \quad y_2 = \frac{-15 + 25}{2} = 5;
\)

Рассмотрим первое значение:
\(
x^2 + 8x = -20;
\)

\(
x^2 + 8x + 20 = 0;
\)

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 20 = 64 — 80 = -16 < 0,
\)

значит корней нет.

Рассмотрим второе значение:
\(
x^2 + 8x = 5;
\)

\(
x^2 + 8x — 5 = 0;
\)

\(
D = 8^2 + 4 \cdot 5 = 64 + 20 = 84,
\)

тогда:
\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -4 \pm \sqrt{21}.
\)

Ответ:
\(
x = -4 + \sqrt{21} \quad \text{или} \quad x = -4 — \sqrt{21}.
\)

1) Рассмотрим уравнение:

\(
(x + 1)(x — 5)(x + 2)(x + 8) = -360;
\)

Сначала упростим его:

\(
(x^2 + 2x + x + 2)(x^2 + 8x — 5x — 40) = -360;
\)

Это приводит к:

\(
(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x — 40) = -360;
\)

Теперь введем замену \(y = x^2 + 3x\). Тогда уравнение принимает вид:

\(
(y + 2)(y — 40) = -360;
\)

Раскроем скобки:

\(
y^2 — 40y + 2y — 80 = -360;
\)

Переносим -360 в левую часть:

\(
y^2 — 38y + 280 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-38)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 280 = 1444 — 1120 = 324.
\)

Теперь найдем корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{38 — \sqrt{324}}{2} = \frac{38 — 18}{2} = 10,
\)
\(
y_2 = \frac{38 + \sqrt{324}}{2} = \frac{38 + 18}{2} = 28.
\)

Рассмотрим первое значение \(y_1\):

\(
x^2 + 3x = 10.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 3x — 10 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.
\)

Теперь находим корни:

\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 — 7}{2} = -5,
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2.
\)

Теперь рассмотрим второе значение \(y_2\):

\(
x^2 + 3x = 28.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 3x — 28 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121.
\)

Теперь находим корни:

\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 — 11}{2} = -7,
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4.
\)

Таким образом, все найденные корни:

\(
-7, -5, 2, 4.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
(x^2 + 3x)(x + 5)(x + 8) = 100;
\)

Упрощаем его:

\(
x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100;
\)

Раскрываем скобки:

\(
(x^2 + 8x)(x^2 + 5x + 3x + 15) = 100;
\)

Это приводит к:

\(
(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) = 100.
\)

Теперь введем замену \(y = x^2 + 8x\). Тогда уравнение принимает вид:

\(
y(y + 15) = 100.
\)

Раскрываем скобки:

\(
y^2 + 15y — 100 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{-15 — \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 — 25}{2} = -20,
\)
\(
y_2 = \frac{-15 + \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 + 25}{2} = 5.
\)

Рассмотрим первое значение \(y_1\):

\(
x^2 + 8x = -20.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 8x + 20 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (20) = 64 — 80 = -16 < 0,
\)

значит корней нет.

Теперь рассмотрим второе значение \(y_2\):

\(
x^2 + 8x = 5.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 8x — 5 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 64 + 20 = 84.
\)

Теперь находим корни:

\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -4 \pm \sqrt{21}.
\)

Ответ:

\(
x = -4 + \sqrt{21} \quad \text{или} \quad x = -4 — \sqrt{21}.
\)