ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
x(x + 4)(x + 5)(x + 9) = -36;
\)

2)
\(
(x^2 + 4x + 3)(x + 5)(x + 7) = -16.
\)

1)
\(
x(x + 4)(x + 5)(x + 9) = -36;
\)

\(
(x^2 + 9x)(x^2 + 5x + 4x + 20) = -36;
\)

\(
(x^2 + 9x)(x^2 + 9x + 20) = -36;
\)

Пусть \(y = x^2 + 9x\), тогда:
\(
y(y + 20) = -36;
\)

\(
y^2 + 20y + 36 = 0;
\)

\(
D = 20^2 — 4 \cdot 36 = 400 — 144 = 256,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-20 — 16}{2} = -18 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-20 + 16}{2} = -2;
\)

Первое значение:
\(
x^2 + 9x = -18;
\)

\(
x^2 + 9x + 18 = 0;
\)

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-9 — 3}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-9 + 3}{2} = -3;
\)

Второе значение:
\(
x^2 + 9x = -2;
\)

\(
x^2 + 9x + 2 = 0;
\)

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 2 = 81 — 8 = 73,
\)

тогда:
\(
x = \frac{-9 \pm \sqrt{73}}{2}.
\)

Ответ:
\(
-6; \quad -3; \quad \frac{-9 \pm \sqrt{73}}{2}.
\)

2)
\(
(x^2 + 4x + 3)(x + 5)(x + 7) = -16;
\)

\(
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = -16;
\)

\(
(x^2 + 7x + x + 7)(x^2 + 5x + 3x + 15) = -16;
\)

\(
(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) = -16;
\)

Пусть \(y = x^2 + 8x\), тогда:
\(
(y + 7)(y + 15) = -16;
\)

\(
y^2 + 15y + 7y + 105 = -16;
\)

\(
y^2 + 22y + 121 = 0;
\)

\(
(y + 11)^2 = 0;
\)

\(
y = -11;
\)

Вернём замену:
\(
x^2 + 8x = -11;
\)

\(
x^2 + 8x + 11 = 0;
\)

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 11 = 64 — 44 = 20,
\)

тогда:
\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -4 \pm \sqrt{5};
\)

Ответ:
\(
-4 \pm \sqrt{5}.
\)

1) Рассмотрим уравнение:

\(
x(x + 4)(x + 5)(x + 9) = -36;
\)

Сначала упростим его:

\(
(x^2 + 9x)(x^2 + 5x + 4x + 20) = -36;
\)

Это приводит к:

\(
(x^2 + 9x)(x^2 + 9x + 20) = -36;
\)

Теперь введем замену \(y = x^2 + 9x\). Тогда уравнение принимает вид:

\(
y(y + 20) = -36;
\)

Раскроем скобки:

\(
y^2 + 20y + 36 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 20^2 — 4 \cdot 36 = 400 — 144 = 256.
\)

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
y_1 = \frac{-20 — \sqrt{256}}{2} = \frac{-20 — 16}{2} = -18,
\)
\(
y_2 = \frac{-20 + \sqrt{256}}{2} = \frac{-20 + 16}{2} = -2.
\)

Рассмотрим первое значение \(y_1\):

\(
x^2 + 9x = -18.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 9x + 18 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9.
\)

Теперь найдем корни:

\(
x_1 = \frac{-9 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-9 — 3}{2} = -6,
\)
\(
x_2 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-9 + 3}{2} = -3.
\)

Теперь рассмотрим второе значение \(y_2\):

\(
x^2 + 9x = -2.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 9x + 2 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 — 8 = 73.
\)

Теперь найдем корни:

\(
x = \frac{-9 \pm \sqrt{73}}{2}.
\)

Таким образом, ответ для первого уравнения:

\(
-6; \quad -3; \quad \frac{-9 \pm \sqrt{73}}{2}.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
(x^2 + 4x + 3)(x + 5)(x + 7) = -16;
\)

Сначала упростим его:

\(
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = -16;
\)

Далее раскроем скобки:

\(
(x^2 + 7x + x + 7)(x^2 + 5x + 3x + 15) = -16;
\)

Это приводит к:

\(
(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) = -16;
\)

Теперь введем замену \(y = x^2 + 8x\). Тогда уравнение принимает вид:

\(
(y + 7)(y + 15) = -16;
\)

Раскроем скобки:

\(
y^2 + 15y + 7y + 105 = -16;
\)

Переносим -16 в левую часть:

\(
y^2 + 22y + 121 = 0.
\)

Теперь заметим, что это полный квадрат:

\(
(y + 11)^2 = 0.
\)

Таким образом, находим:

\(
y = -11.
\)

Теперь вернемся к замене и подставим обратно:

\(
x^2 + 8x = -11.
\)

Переписываем уравнение:

\(
x^2 + 8x + 11 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 64 — 44 = 20.
\)

Теперь найдем корни:

\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -4 \pm \sqrt{5}.
\)

Таким образом, ответ для второго уравнения:

\(
-4 \pm \sqrt{5}.
\)