ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
(x^2 — 2.5x + 1)(x^2 + 3.5x + 1) = -5x^2;
\)

2)
\(
(x + 2)(x + 3)(x^2 + 20x + 96) = 4x^2.
\)

Решить уравнение:

1)
\(
(x^2 — 2,5x + 1)(x^2 + 3,5x + 1) = -5x^2;
\)

\(
\left(2x — 5 + \frac{2}{x}\right)\left(2x + 7 + \frac{2}{x}\right) = -20;
\)

Пусть
\(
y = 2x + \frac{2}{x},
\)
тогда:
\(
(y — 5)(y + 7) = -20;
\)

\(
y^2 + 7y — 5y — 35 = -20;
\)

\(
y^2 + 2y — 15 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\)

Первое значение:
\(
2x + \frac{2}{x} = -5;
\)

\(
2x^2 + 5x + 2 = 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\)

Второе значение:
\(
2x + \frac{2}{x} = 3;
\)

\(
2x^2 — 3x + 2 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 — 16 = -7 < 0,
\)

значит корней нет:
\( x \in \emptyset. \)

Ответ:
\(
-2; \quad -\frac{1}{2}.
\)

2)
\(
(x + 2)(x + 3)(x^2 + 20x + 96) = 4x^2;
\)

\(
(x + 2)(x + 3)(x + 12)(x + 8) = 4x^2;
\)

\(
(x^2 + 14x + 24)(x^2 + 11x + 24) = 4x^2;
\)

\(
\left(x + 14 + \frac{24}{x}\right)\left(x + 11 + \frac{24}{x}\right) = 4;
\)

Пусть
\(
y = x + \frac{24}{x},
\)
тогда:
\(
(y + 14)(y + 11) = 4;
\)

\(
y^2 + 11y + 14y + 154 = 4;
\)

\(
y^2 + 25y + 150 = 0;
\)

\(
D = 25^2 — 4 \cdot 150 = 625 — 600 = 25,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-25 — 5}{2} = -15, \quad y_2 = \frac{-25 + 5}{2} = -10;
\)

Первое значение:
\(
x + \frac{24}{x} = -15;
\)

\(
x^2 + 15x + 24 = 0;
\)

\(
D = 15^2 — 4 \cdot 24 = 225 — 96 = 129,
\)

тогда:
\(
x = \frac{-15 \pm \sqrt{129}}{2};
\)

Второе значение:
\(
x + \frac{24}{x} = -10;
\)

\(
x^2 + 10x + 24 = 0;
\)

\(
D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-10 — 2}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-10 + 2}{2} = -4;
\)

Ответ:
\(
-6; \quad -4; \quad \frac{-15 \pm \sqrt{129}}{2}.
\)

Задача 1

Дано уравнение:
\(
(x^2 — 2,5x + 1)(x^2 + 3,5x + 1) = -5x^2.
\)

Перепишем левую часть в виде:
\(
\left(2x — 5 + \frac{2}{x}\right)\left(2x + 7 + \frac{2}{x}\right) = -20,
\)
где мы домножили и разделили на \( x^2 \), чтобы выразить через дроби.

Введём замену:
\(
y = 2x + \frac{2}{x}.
\)

Тогда уравнение принимает вид:
\(
(y — 5)(y + 7) = -20.
\)

Раскроем скобки:
\(
y^2 + 7y — 5y — 35 = -20,
\)
что упрощается до
\(
y^2 + 2y — 35 = -20.
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
y^2 + 2y — 15 = 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\)

Корни уравнения для \( y \):
\(
y_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5,
\)
\(
y_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3.
\)

Рассмотрим каждое значение \( y \) отдельно.

Первое значение:
\(
2x + \frac{2}{x} = -5.
\)

Домножим на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):
\(
2x^2 + 5x + 2 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.
\)

Корни уравнения для \( x \):
\(
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 3}{4} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}.
\)

Второе значение:
\(
2x + \frac{2}{x} = 3.
\)

Домножим на \( x \):
\(
2x^2 — 3x + 2 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 — 16 = -7 < 0.
\)

Корней нет, поскольку дискриминант отрицательный.

Ответ для задачи 1:
\(
x = -2, \quad x = -\frac{1}{2}.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
(x + 2)(x + 3)(x^2 + 20x + 96) = 4x^2.
\)

Раскроем и упростим:
\(
(x + 2)(x + 3)(x + 12)(x + 8) = 4x^2,
\)
так как
\(
x^2 + 20x + 96 = (x + 12)(x + 8).
\)

Перегруппируем:
\(
(x^2 + 14x + 24)(x^2 + 11x + 24) = 4x^2,
\)
где
\(
(x + 2)(x + 12) = x^2 + 14x + 24,
\)
\(
(x + 3)(x + 8) = x^2 + 11x + 24.
\)

Выразим в виде:
\(
\left(x + 14 + \frac{24}{x}\right)\left(x + 11 + \frac{24}{x}\right) = 4,
\)
поделив обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)).

Введём замену:
\(
y = x + \frac{24}{x}.
\)

Тогда уравнение превращается в:
\(
(y + 14)(y + 11) = 4.
\)

Раскроем скобки:
\(
y^2 + 11y + 14y + 154 = 4,
\)
что упрощается до
\(
y^2 + 25y + 154 = 4.
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
y^2 + 25y + 150 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 25^2 — 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 — 600 = 25.
\)

Найдём корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-25 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-25 — 5}{2} = -15,
\)
\(
y_2 = \frac{-25 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-25 + 5}{2} = -10.
\)

Рассмотрим каждое значение \( y \).

Первое значение:
\(
x + \frac{24}{x} = -15.
\)

Домножим на \( x \):
\(
x^2 + 15x + 24 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 15^2 — 4 \cdot 24 = 225 — 96 = 129.
\)

Корни:
\(
x = \frac{-15 \pm \sqrt{129}}{2}.
\)

Второе значение:
\(
x + \frac{24}{x} = -10.
\)

Домножим на \( x \):
\(
x^2 + 10x + 24 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-10 — 2}{2} = -6,
\)
\(
x_2 = \frac{-10 + 2}{2} = -4.
\)

Ответ для задачи 2:
\(
x = -6, \quad x = -4, \quad x = \frac{-15 \pm \sqrt{129}}{2}.
\)