ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
(2x + 10)(x + 6)(2x + 20)(x + 12) — 3x^2 = 0;
\)

2)
\(
(x^2 + 6x — 40)(x + 5)(x — 2) = 18x^2.
\)

1) \((2x + 10)(x + 6)(2x + 20)(x + 12) — 3x^2 = 0;\)
\((2x^2 + 34x + 120)(2x^2 + 32x + 120) = 3x^2;\)
\(\left(2x + 34 + \frac{120}{x}\right)\left(2x + 32 + \frac{120}{x}\right) = 3;\)

Пусть \(y = 2x + \frac{120}{x}\), тогда:
\(
(y + 34)(y + 32) = 3;
\)
\(
y^2 + 32y + 34y + 1088 = 3;
\)
\(
y^2 + 66y + 1085 = 0;
\)
\(
D = 66^2 — 4 \cdot 1085 = 4356 — 4340 = 16,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{-66 — 4}{2} = -35 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-66 + 4}{2} = -31;
\)

Первое значение:
\(
2x + \frac{120}{x} = -35;
\)
\(
2x^2 + 35x + 120 = 0;
\)
\(
D = 35^2 — 4 \cdot 2 \cdot 120 = 1225 — 960 = 265,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{2 \cdot 2} = \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{4};
\)

Второе значение:
\(
2x + \frac{120}{x} = -31;
\)
\(
2x^2 + 31x + 120 = 0;
\)
\(
D = 31^2 — 4 \cdot 2 \cdot 120 = 961 — 960 = 1,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-31 — 1}{2 \cdot 2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-31 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{15}{2};
\)

Ответ:
\(
x = -8; \quad x = -\frac{15}{2}; \quad x = \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{4}.
\)

2) \((x^2 + 6x — 40)(x + 5)(x — 2) = 18x^2;\)
\((x + 10)(x — 4)(x + 5)(x — 2) = 18x^2;\)
\((x^2 + 8x — 20)(x^2 + x — 20) = 18x^2;\)
\(
\left(x + 8 — \frac{20}{x}\right)\left(x + 1 — \frac{20}{x}\right) = 18;
\)

Пусть \(y = x — \frac{20}{x}\), тогда:
\(
(y + 8)(y + 1) = 18;
\)
\(
y^2 + y + 8y + 8 = 18;
\)
\(
y^2 + 9y — 10 = 0;
\)
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1;
\)

Первое значение:
\(
x — \frac{20}{x} = -10;
\)
\(
x^2 + 10x — 20 = 0;
\)
\(
D = 10^2 + 4 \cdot 20 = 100 + 80 = 180,
\)
тогда:
\(
x = \frac{-10 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{-10 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -5 \pm 3\sqrt{5};
\)

Второе значение:
\(
x — \frac{20}{x} = 1;
\)
\(
x^2 — x — 20 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;
\)

Ответ:
\(
x = -4; \quad x = 5; \quad x = -5 \pm 3\sqrt{5}.
\)

Задача 1

Дано уравнение:
\(
(2x + 10)(x + 6)(2x + 20)(x + 12) — 3x^2 = 0.
\)

Перепишем произведения группируя:
\(
(2x + 10)(2x + 20) \cdot (x + 6)(x + 12) — 3x^2 = 0.
\)

Раскроем скобки в первых двух множителях:
\(
(2x + 10)(2x + 20) = 4x^2 + 40x + 20x + 200 = 4x^2 + 60x + 200.
\)

Аналогично для второго множителя:
\(
(x + 6)(x + 12) = x^2 + 12x + 6x + 72 = x^2 + 18x + 72.
\)

Теперь исходное уравнение:
\(
(4x^2 + 60x + 200)(x^2 + 18x + 72) — 3x^2 = 0.
\)

Перемножим многочлены:
\(
(4x^2)(x^2 + 18x + 72) + (60x)(x^2 + 18x + 72) + 200(x^2 + 18x + 72)
\)
\(
— 3x^2 = 0.
\)

Раскроем скобки:
\(
4x^4 + 72x^3 + 288x^2 + 60x^3 + 1080x^2 + 4320x + 200x^2 + 3600x + 14400 —
\)
\(
— 3x^2 = 0.
\)

Сложим подобные члены:
— \(x^4\): \(4x^4\)
— \(x^3\): \(72x^3 + 60x^3 = 132x^3\)
— \(x^2\): \(288x^2 + 1080x^2 + 200x^2 — 3x^2 = 1565x^2\)
— \(x\): \(4320x + 3600x = 7920x\)
— свободный член: \(14400\)

Получаем:
\(
4x^4 + 132x^3 + 1565x^2 + 7920x + 14400 = 0.
\)

В исходном решении предлагается заменить выражение:
\(
y = 2x + \frac{120}{x}.
\)

Перепишем уравнение:
\(
(2x + 10)(x + 6)(2x + 20)(x + 12) = 3x^2.
\)

Раскроем произведения:
\(
(2x + 10)(2x + 20) = 4x^2 + 60x + 200,
\)
\(
(x + 6)(x + 12) = x^2 + 18x + 72.
\)

Таким образом:
\(
(4x^2 + 60x + 200)(x^2 + 18x + 72) = 3x^2.
\)

Делим обе части на \(x^2\) (при \(x \neq 0\)):
\(
\frac{(4x^2 + 60x + 200)(x^2 + 18x + 72)}{x^2} = 3.
\)

Поделим каждый множитель на \(x\):
\(
\frac{4x^2 + 60x + 200}{x} = 4x + 60 + \frac{200}{x},
\)
\(
\frac{x^2 + 18x + 72}{x} = x + 18 + \frac{72}{x}.
\)

Но в решении используется другая замена:
\(
y = 2x + \frac{120}{x}.
\)

Упрощение даёт:
\(
(y + 34)(y + 32) = 3.
\)

Раскроем скобки:
\(
y^2 + 32y + 34y + 1088 = 3,
\)
\(
y^2 + 66y + 1088 = 3,
\)
\(
y^2 + 66y + 1085 = 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 66^2 — 4 \cdot 1085 = 4356 — 4340 = 16.
\)

Находим корни:
\(
y_1 = \frac{-66 — 4}{2} = \frac{-70}{2} = -35,
\)
\(
y_2 = \frac{-66 + 4}{2} = \frac{-62}{2} = -31.
\)

Для каждого значения \(y\) решаем уравнение относительно \(x\):

1. При \(y = -35\),
\(
2x + \frac{120}{x} = -35.
\)

Умножаем на \(x\) (при \(x \neq 0\)):
\(
2x^2 + 120 = -35x,
\)
\(
2x^2 + 35x + 120 = 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 35^2 — 4 \cdot 2 \cdot 120 = 1225 — 960 = 265.
\)

Корни:
\(
x = \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{4}.
\)

2. При \(y = -31\),
\(
2x + \frac{120}{x} = -31,
\)
\(
2x^2 + 120 = -31x,
\)
\(
2x^2 + 31x + 120 = 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 31^2 — 4 \cdot 2 \cdot 120 = 961 — 960 = 1.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-31 — 1}{4} = -8,
\)
\(
x_2 = \frac{-31 + 1}{4} = -\frac{15}{2}.
\)

Ответ для задачи 1:
\(
x = -8; \quad x = -\frac{15}{2}; \quad x = \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{4}.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
(x^2 + 6x — 40)(x + 5)(x — 2) = 18x^2.
\)

Перепишем:
\(
(x + 10)(x — 4)(x + 5)(x — 2) = 18x^2,
\)
так как
\(
x^2 + 6x — 40 = (x + 10)(x — 4).
\)

Перегруппируем:
\(
(x + 10)(x — 4)(x + 5)(x — 2) = 18x^2.
\)

Перемножим по парам:
\(
(x + 10)(x — 4) = x^2 + 6x — 40,
\)
\(
(x + 5)(x — 2) = x^2 + 3x — 10.
\)

Тогда уравнение:
\(
(x^2 + 6x — 40)(x^2 + 3x — 10) = 18x^2.
\)

Далее, вводим замену:
\(
y = x — \frac{20}{x}.
\)

Перепишем произведение в виде:
\(
\left(x + 8 — \frac{20}{x}\right)\left(x + 1 — \frac{20}{x}\right) = 18.
\)

Обозначим:
\(
y = x — \frac{20}{x}.
\)

Тогда уравнение принимает вид:
\(
(y + 8)(y + 1) = 18.
\)

Раскроем скобки:
\(
y^2 + y + 8y + 8 = 18,
\)
\(
y^2 + 9y + 8 = 18,
\)
\(
y^2 + 9y — 10 = 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121.
\)

Корни:
\(
y_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10,
\)
\(
y_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1.
\)

Для каждого значения \(y\) решаем уравнение относительно \(x\):

1. При \(y = -10\),
\(
x — \frac{20}{x} = -10.
\)

Умножаем на \(x\):
\(
x^2 + 10x — 20 = 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 10^2 + 4 \cdot 20 = 100 + 80 = 180.
\)

Корни:
\(
x = \frac{-10 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{-10 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -5 \pm 3\sqrt{5}.
\)

2. При \(y = 1\),
\(
x — \frac{20}{x} = 1,
\)
\(
x^2 — x — 20 = 0.
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5.
\)

Ответ для задачи 2:
\(
x = -4; \quad x = 5; \quad x = -5 \pm 3\sqrt{5}.
\)