ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
(2x + 3)^2 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 56;
\)

2)
\(
12\left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right) = \frac{6}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4.
\)

1) \((2x + 3)^2 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 56;\)
\(4x^2 + 12x + 9 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 56;\)
\(12 \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 \left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right) + 1 = 56;\)
\(12 \left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 55 = 0;\)

Пусть \(y = x + \frac{1}{x}\), тогда:
\(4y^2 + 12y — 55 = 0;\)
\(D = 12^2 + 4 \cdot 4 \cdot 55 = 144 + 880 = 1024,\) тогда:

\(
y_1 = \frac{-12 — 32}{2 \cdot 4} = -\frac{11}{2}, \quad y_2 = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 4} = \frac{5}{2};
\)

Первое значение:
\(
x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{2};
\)
\(
2x^2 + 11x + 2 = 0;
\)
\(
D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 121 — 16 = 105,
\) тогда:
\(
x = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{4};
\)

Второе значение:
\(
x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2};
\)
\(
2x^2 — 5x + 2 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\) тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{2}; \quad 2; \quad \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{4}.
\)

2)
\(
12 \left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right) = \frac{6}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4;
\)

\(
12 \left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right) = 6 \left(\frac{1}{x^2} — \frac{1}{3} + \frac{x^2}{36}\right) + 6;
\)

\(
12 \left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right) — 6 \left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right)^2 — 6 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \frac{1}{x} — \frac{x}{6},
\)
тогда:
\(
12y — 6y^2 — 6 = 0;
\)

\(
y^2 — 2y + 1 = 0;
\)

\(
(y — 1)^2 = 0;
\)

\(
y = 1;
\)

Вернём замену:
\(
\frac{1}{x} — \frac{x}{6} = 1;
\)

\(
6 — x^2 = 6x;
\)

\(
x^2 + 6x — 6 = 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 6 = 36 + 24 = 60,
\)
тогда:
\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15};
\)

Ответ:
\(
x = -3 \pm \sqrt{15}.
\)

1) Уравнение

\(
(2x + 3)^2 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 56.
\)

Раскроем квадрат:

\(
(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.
\)

Подставим в уравнение:

\(
4x^2 + 12x + 9 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 56.
\)

Перенесём 56 в левую часть:

\(
4x^2 + 12x + 9 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} — 56 = 0,
\)
\(
4x^2 + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} — 47 = 0.
\)

Обратим внимание, что можно сгруппировать члены:

\(
4x^2 + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} — 47 = 0.
\)

Введём замену:

\(
y = x + \frac{1}{x}.
\)

Тогда:

\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 — 2 = y^2 — 2.
\)

Подставим в уравнение:

\(
4x^2 + \frac{4}{x^2} = 4 \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 4(y^2 — 2) = 4y^2 — 8,
\)
\(
12x + \frac{12}{x} = 12 \left(x + \frac{1}{x}\right) = 12y,
\)
и константа -47.

Итого:

\(
4y^2 — 8 + 12y — 47 = 0,
\)
\(
4y^2 + 12y — 55 = 0.
\)

Решим квадратное уравнение относительно \(y\):

\(
D = 12^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-55) = 144 + 880 = 1024,
\)
\(
y_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot 4} = \frac{-12 \pm 32}{8}.
\)

Корни:

\(
y_1 = \frac{-12 — 32}{8} = \frac{-44}{8} = -\frac{11}{2},
\)
\(
y_2 = \frac{-12 + 32}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}.
\)

Случай 1: \(y = -\frac{11}{2}\)

По определению:

\(
x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{2}.
\)

Умножим на \(2x\):

\(
2x^2 + 2 = -11x,
\)
\(
2x^2 + 11x + 2 = 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 121 — 16 = 105.
\)

Корни:

\(
x = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{4}.
\)

Случай 2: \(y = \frac{5}{2}\)

\(
x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}.
\)

Умножим на \(2x\):

\(
2x^2 + 2 = 5x,
\)
\(
2x^2 — 5x + 2 = 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},
\)
\(
x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2.
\)

Ответ для первого уравнения:

\(
x = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{4}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 2.
\)

2) Уравнение

\(
12 \left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right) = \frac{6}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4.
\)

Приведём правую часть к общему виду:

\(
\frac{6}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4 = 6 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4.
\)

Заметим, что:

\(
\frac{1}{x} — \frac{x}{6} = y,
\)

тогда:

\(
12 y = \frac{6}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4.
\)

Перепишем правую часть так:

\(
\frac{6}{x^2} + \frac{x^2}{6} + 4 = 6 \left(\frac{1}{x^2}\right) + \frac{x^2}{6} + 4.
\)

Обратим внимание, что

\(
y = \frac{1}{x} — \frac{x}{6}.
\)

Вычислим \(y^2\):

\(
y^2 = \left(\frac{1}{x} — \frac{x}{6}\right)^2 = \frac{1}{x^2} — 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{6} + \frac{x^2}{36} = \frac{1}{x^2} — \frac{2}{6} + \frac{x^2}{36} = \frac{1}{x^2} — \frac{1}{3} + \frac{x^2}{36}.
\)

Подставим:

\(
12 y = 6 y^2 + 6.
\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(
12 y — 6 y^2 — 6 = 0,
\)
\(
-6 y^2 + 12 y — 6 = 0,
\)
разделим на -6:

\(
y^2 — 2 y + 1 = 0.
\)

Это квадрат суммы:

\(
(y — 1)^2 = 0,
\)
откуда

\(
y = 1.
\)

Вернём замену:

\(
\frac{1}{x} — \frac{x}{6} = 1.
\)

Умножим на \(6x\) (предполагая \(x \neq 0\)):

\(
6 — x^2 = 6x,
\)
перенесём всё в левую часть:

\(
x^2 + 6x — 6 = 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60.
\)

Корни:

\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2 \sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}.
\)

Ответ для второго уравнения:

\(
x = -3 + \sqrt{15}, \quad x = -3 — \sqrt{15}.
\)