ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
3x^4 + 5x^3 — 16x^2 + 5x + 3 = 0;
\)

2)
\(
5\left(x^2 + \frac{36}{x^2}\right) = 56\left(x — \frac{6}{x}\right).
\)

1) \(3x^4 + 5x^3 — 16x^2 + 5x + 3 = 0;\)

\(3x^2 + 5x — 16 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} = 0;\)

\(3 \left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right) + 5 \left(x + \frac{1}{x}\right) — 22 = 0;\)

\(3 \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 5 \left(x + \frac{1}{x}\right) — 22 = 0;\)

Пусть \(y = x + \frac{1}{x}\), тогда:

\(3y^2 + 5y — 22 = 0;\)

\(D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 22 = 25 + 264 = 289,\) тогда:

\(
y_1 = \frac{-5 — 17}{2 \cdot 3} = -\frac{11}{3}, \quad y_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 3} = 2;
\)

Первое значение:

\(
x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{3};
\)

\(
3x^2 + 11x + 3 = 0;
\)

\(D = 11^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 121 — 36 = 85,\) тогда:

\(
x_1 = \frac{-11 — \sqrt{85}}{6}, \quad x_2 = \frac{-11 + \sqrt{85}}{6};
\)

Второе значение:

\(
x + \frac{1}{x} = 2;
\)

\(
x^2 — 2x + 1 = 0;
\)

\(
(x — 1)^2 = 0;
\)

\(
x = 1;
\)

Ответ: \(1; \quad \frac{-11 \pm \sqrt{85}}{6}.\)

2)
\(
5 \left(x^2 + \frac{36}{x^2}\right) = 56 \left(x — \frac{6}{x}\right);
\)

\(
5 \left(x^2 — 12 + \frac{36}{x^2}\right) + 60 = 56 \left(x — \frac{6}{x}\right);
\)

\(
5 \left(x — \frac{6}{x}\right)^2 — 56 \left(x — \frac{6}{x}\right) + 60 = 0;
\)

Пусть \(y = x — \frac{6}{x}\), тогда:

\(
5y^2 — 56y + 60 = 0;
\)

\(
D = 56^2 — 4 \cdot 5 \cdot 60 = 3136 — 1200 = 1936,
\)

тогда:

\(
y_1 = \frac{56 — 44}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}, \quad y_2 = \frac{56 + 44}{2 \cdot 5} = 10;
\)

Первое значение:

\(
x — \frac{6}{x} = \frac{6}{5};
\)

\(
5x^2 — 6x — 30 = 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 5 \cdot 30 = 36 + 600 = 636,
\)

тогда:

\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{636}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{159}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{159}}{5};
\)

Второе значение:

\(
x — \frac{6}{x} = 10;
\)

\(
x^2 — 10x — 6 = 0;
\)

\(
D = 10^2 + 4 \cdot 6 = 100 + 24 = 124,
\)

тогда:

\(
x = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2} = 5 \pm \sqrt{31};
\)

Ответ:
\(
5 \pm \sqrt{31}; \quad \frac{3 \pm \sqrt{159}}{5}.
\)

Задача 1

Дано уравнение:
\(
3x^4 + 5x^3 — 16x^2 + 5x + 3 = 0.
\)

Разделим все слагаемые на \(x^2\) (при условии \(x \neq 0\)):
\(
3x^2 + 5x — 16 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} = 0.
\)

Группируем члены так, чтобы выделить выражения вида \(x + \frac{1}{x}\) и \(x^2 + \frac{1}{x^2}\):
\(
3 \left(x^2 + \frac{3}{x^2}\right) + 5 \left(x + \frac{1}{x}\right) — 16 = 0.
\)

Обратите внимание, что в исходном решении к \(x^2\) добавлено 2, чтобы получить полный квадрат:
\(
3 \left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right) + 5 \left(x + \frac{1}{x}\right) — 22 = 0,
\)
потому что \(3 \times 2 = 6\), и \(16 + 6 = 22\).

Заменим:
\(
x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2.
\)

Обозначим:
\(
y = x + \frac{1}{x}.
\)

Тогда уравнение принимает вид:
\(
3y^2 + 5y — 22 = 0.
\)

Рассчитаем дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
y_1 = \frac{-5 — \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 — 17}{6} = -\frac{11}{3},
\)
\(
y_2 = \frac{-5 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 17}{6} = 2.
\)

Рассмотрим первое значение \(y_1 = -\frac{11}{3}\):

\(
x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{3}.
\)

Умножим обе части на \(x\):
\(
x^2 + 1 = -\frac{11}{3} x,
\)
или
\(
3x^2 + 11x + 3 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 11^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 121 — 36 = 85.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-11 — \sqrt{85}}{6}, \quad x_2 = \frac{-11 + \sqrt{85}}{6}.
\)

Рассмотрим второе значение \(y_2 = 2\):

\(
x + \frac{1}{x} = 2.
\)

Умножим обе части на \(x\):
\(
x^2 + 1 = 2x,
\)
или
\(
x^2 — 2x + 1 = 0.
\)

Это квадрат полного квадрата:
\(
(x — 1)^2 = 0,
\)
отсюда
\(
x = 1.
\)

Ответ по первой задаче:
\(
x = 1; \quad x = \frac{-11 \pm \sqrt{85}}{6}.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
5 \left(x^2 + \frac{36}{x^2}\right) = 56 \left(x — \frac{6}{x}\right).
\)

Добавим и вычтем 60 слева для удобства:
\(
5 \left(x^2 — 12 + \frac{36}{x^2}\right) + 60 = 56 \left(x — \frac{6}{x}\right).
\)

Обратим внимание, что
\(
x^2 — 12 + \frac{36}{x^2} = \left(x — \frac{6}{x}\right)^2,
\)
потому что
\(
\left(x — \frac{6}{x}\right)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{6}{x} + \frac{36}{x^2} = x^2 — 12 + \frac{36}{x^2}.
\)

Подставим:
\(
5 \left(x — \frac{6}{x}\right)^2 + 60 = 56 \left(x — \frac{6}{x}\right).
\)

Перенесём все в одну сторону:
\(
5 \left(x — \frac{6}{x}\right)^2 — 56 \left(x — \frac{6}{x}\right) + 60 = 0.
\)

Обозначим
\(
y = x — \frac{6}{x}.
\)

Получаем квадратное уравнение:
\(
5y^2 — 56y + 60 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-56)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 60 = 3136 — 1200 = 1936.
\)

Корни:
\(
y_1 = \frac{56 — \sqrt{1936}}{2 \cdot 5} = \frac{56 — 44}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5},
\)
\(
y_2 = \frac{56 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 5} = \frac{56 + 44}{10} = \frac{100}{10} = 10.
\)

Рассмотрим первое значение \(y_1 = \frac{6}{5}\):

\(
x — \frac{6}{x} = \frac{6}{5}.
\)

Умножим на \(x\):
\(
x^2 — \frac{6}{5} x — 6 = 0,
\)
или умножим всюду на 5 для удобства:
\(
5x^2 — 6x — 30 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-30) = 36 + 600 = 636.
\)

Корни:
\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{636}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{159}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{159}}{5}.
\)

Рассмотрим второе значение \(y_2 = 10\):

\(
x — \frac{6}{x} = 10.
\)

Умножим на \(x\):
\(
x^2 — 10x — 6 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 100 + 24 = 124.
\)

Корни:
\(
x = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2} = 5 \pm \sqrt{31}.
\)

Ответ по второй задаче:
\(
x = 5 \pm \sqrt{31}; \quad x = \frac{3 \pm \sqrt{159}}{5}.
\)