ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
x^4 + 2x^2 (x — 1) = 24(x — 1)^2.
\)

Решить уравнение:
\(
x^4 + 2x^2(x — 1) = 24(x — 1)^2;
\)

1) Пусть \(a = x^2\) и \(b = x — 1\), тогда:
\(
a^2 + 2ab = 24b^2;
\)
\(
a^2 + 2ab — 24b^2 = 0;
\)
\(
D = (2b)^2 + 4 \cdot 24b^2 = 4b^2 + 96b^2 = 100b^2,
\)
тогда:
\(
a_1 = \frac{-2b — 10b}{2} = -6b \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2b + 10b}{2} = 4b;
\)

2) Первое значение:
\(
x^2 = -6(x — 1);
\)
\(
x^2 + 6x — 6 = 0;
\)
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 6 = 36 + 24 = 60,
\)
тогда:
\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15};
\)

3) Второе значение:
\(
x^2 = 4(x — 1);
\)
\(
x^2 — 4x + 4 = 0;
\)
\(
(x — 2)^2 = 0;
\)
\(
x = 2;
\)

Ответ:
\(
2; \quad -3 \pm \sqrt{15}.
\)

Решим уравнение:

\(
x^4 + 2x^2(x — 1) = 24(x — 1)^2.
\)

1) Пусть \(a = x^2\) и \(b = x — 1\), тогда уравнение можно переписать как:

\(
a^2 + 2ab = 24b^2.
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
a^2 + 2ab — 24b^2 = 0.
\)

Это квадратное уравнение относительно \(a\). Найдем дискриминант:

\(
D = (2b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24b^2) = 4b^2 + 96b^2 = 100b^2.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
a_1 = \frac{-2b — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{-2b — 10b}{2} = -6b,
\)

\(
a_2 = \frac{-2b + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{-2b + 10b}{2} = 4b.
\)

2) Рассмотрим первое значение:

\(
x^2 = -6(x — 1).
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 = -6x + 6.
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x^2 + 6x — 6 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}.
\)

3) Рассмотрим второе значение:

\(
x^2 = 4(x — 1).
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 = 4x — 4.
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x^2 — 4x + 4 = 0.
\)

Это уравнение можно записать в виде полного квадрата:

\(
(x — 2)^2 = 0.
\)

Следовательно, корень этого уравнения:

\(
x = 2.
\)

Теперь подведем итог. Ответы для уравнения:

\(
x = 2; \quad x = -3 \pm \sqrt{15}.
\)