ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\text{1) } 3\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 2;
\)

\(
\text{2) } 5\cos^3(x) = \sin(x) — \cos(x).
\)

1)
\(
3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2;
\)
\(
3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x;
\)
\(
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x — 2 \cos^2 x = 0;
\)
\(
\tan^2 x + 2 \tan x — 2 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12,
\)
тогда:
\(
\tan x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3};
\)

Ответ:
\(
\arctan(-1 \pm \sqrt{3}) + \pi n.
\)

2)
\(
5 \cos^3 x = \sin x — \cos x;
\)
\(
5 \cos^3 x = (\sin x — \cos x)(\sin^2 x + \cos^2 x);
\)
\(
5 \cos^3 x = \sin^3 x + \cos^2 x \sin x — \sin^2 x \cos x — \cos^3 x;
\)
\(
5 = \tan^3 x + \tan x — \tan^2 x — 1;
\)
\(
(\tan^3 x — 8) — (\tan^2 x — \tan x — 2) = 0;
\)
\(
(\tan x — 2)(\tan^2 x + 2 \tan x + 4) — (\tan x — 2)(\tan x + 1) = 0;
\)
\(
(\tan x — 2)(\tan^2 x + \tan x + 3) = 0;
\)
\(
\tan x — 2 = 0;
\)
\(
\tan x = 2;
\)

Ответ:
\(
\arctan 2 + \pi n.
\)

Решить уравнение:

1)
Рассмотрим уравнение:

\(
3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2.
\)

Перепишем его в следующем виде:

\(
3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x.
\)

Соберём все термины в одну сторону:

\(
3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x — 2 \sin^2 x — 2 \cos^2 x = 0.
\)

Упрощаем уравнение:

\(
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x — 2 \cos^2 x = 0.
\)

Теперь заменим \(\sin\) и \(\cos\) через тангенс, используя \(t = \tan x\):

\(
\tan^2 x + 2 \tan x — 2 = 0.
\)

Теперь найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
\)

Находим корни уравнения:

\(
\tan x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}.
\)

Таким образом, ответ для первого уравнения будет:

\(
x = \arctan(-1 \pm \sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

2)
Рассмотрим второе уравнение:

\(
5 \cos^3 x = \sin x — \cos x.
\)

Перепишем его, используя единичную тройку:

\(
5 \cos^3 x = (\sin x — \cos x)(\sin^2 x + \cos^2 x).
\)

Так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), упростим выражение:

\(
5 \cos^3 x = \sin^3 x + \cos^2 x \sin x — \sin^2 x \cos x — \cos^3 x.
\)

Переносим все термины в одну сторону:

\(
5 = \tan^3 x + \tan x — \tan^2 x — 1.
\)

Приведём подобные слагаемые:

\(
\tan^3 x — 8 — (\tan^2 x — \tan x — 2) = 0.
\)

Факторизуем уравнение:

\(
(\tan^3 x — 8) — (\tan^2 x — \tan x — 2) = 0.
\)

Теперь выделим общий множитель:

\(
(\tan x — 2)(\tan^2 x + 2\tan x + 4) — (\tan x — 2)(\tan x + 1) = 0.
\)

Факторизуем ещё раз:

\(
(\tan x — 2)(\tan^2 x + 2\tan x + 4) — (\tan x — 2)(\tan x + 1) = 0.
\)

Теперь, если \( (\tan x — 2) = 0\):

\(
\tan x = 2.
\)

Таким образом, ответ для второго уравнения будет:

\(
x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)