ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
22\cos^2(x) + 4\sin(2x) = 7.
\)

\(
22 \cos^2 x + 4 \sin 2x = 7;
\)
\(
22 \cos^2 x + 8 \sin x \cos x = 7 \sin^2 x + 7 \cos^2 x;
\)
\(
7 \sin^2 x — 8 \sin x \cos x — 15 \cos^2 x = 0;
\)
\(
7 \tan^2 x — 8 \tan x — 15 = 0;
\)
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 7 \cdot 15 = 64 + 420 = 484,
\)
тогда:
\(
\tan x_1 = \frac{8 — 22}{2 \cdot 7} = -1,
\)
\(
\tan x_2 = \frac{8 + 22}{2 \cdot 7} = \frac{15}{7};
\)
\(
x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n,
\)
\(
x_2 = \arctan \frac{15}{7} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
-\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad \arctan \frac{15}{7} + \pi n.
\)

Решить уравнение:

\(
22 \cos^2 x + 4 \sin 2x = 7.
\)

Сначала воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
22 \cos^2 x + 4(2 \sin x \cos x) = 7.
\)

Упрощаем:

\(
22 \cos^2 x + 8 \sin x \cos x = 7.
\)

Теперь выразим \(7\) через \(\sin^2 x\) и \(\cos^2 x\):

\(
22 \cos^2 x + 8 \sin x \cos x = 7 \sin^2 x + 7 \cos^2 x.
\)

Поскольку \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), можно переписать уравнение так:

\(
22 \cos^2 x + 8 \sin x \cos x = 7(1).
\)

Теперь соберём все термины в одну сторону:

\(
22 \cos^2 x + 8 \sin x \cos x — 7 = 0.
\)

Заменим \(\sin x\) через \(\tan x\):

\(
\sin x = \tan x \cos x.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
22 \cos^2 x + 8 (\tan x \cos x) \cos x — 7 = 0.
\)

Упрощаем:

\(
22 \cos^2 x + 8 \tan x \cos^2 x — 7 = 0.
\)

Вынесем \(\cos^2 x\) за скобки:

\(
(22 + 8 \tan x) \cos^2 x — 7 = 0.
\)

Теперь выразим \(\cos^2 x\):

\(
(22 + 8 \tan x) \cos^2 x = 7.
\)

Разделим обе стороны на \(22 + 8 \tan x\):

\(
\cos^2 x = \frac{7}{22 + 8 \tan x}.
\)

Теперь подставим обратно в уравнение, используя \(t = \tan x\):

\(
7 \sin^2 x — 8 \sin x \cos x — 15 \cos^2 x = 0.
\)

Подставим \(t = \tan x\):

\(
7 t^2 — 8 t — 15 = 0.
\)

Теперь найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-15) = 64 + 420 = 484.
\)

Теперь найдем корни уравнения:

\(
t_1 = \frac{8 — \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{8 — 22}{14} = -1,
\)
\(
t_2 = \frac{8 + \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 22}{14} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7}.
\)

Теперь находим углы \(x_1\) и \(x_2\):

Для \(t_1 = -1\):

\(
x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Для \(t_2 = \frac{15}{7}\):

\(
x_2 = \arctan\left(\frac{15}{7}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Ответ:

\(
-\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad \arctan\left(\frac{15}{7}\right) + \pi n.
\)