ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
|x^2 — 2x — 5| = |x — 1|
\)

2)
\(
2\sqrt{x + 5} = x + 2
\)

3)
\(
|x^2 + 6x — 16| = 8 — 4x
\)

4)
\(
2^{8 — 2x^2} = 2^{x^2 — 1}
\)

5)
\(
\sqrt{2x^2 — 3x + 1} = \sqrt{x^2 + 2x — 3}
\)

6)
\(
\log_{10}(x^2 + 2x — 10) = \log_{10}(3x + 2)
\)

1) \(|x^2 — 2x — 5| = |x — 1|\);

Первое уравнение:
\(
x^2 — 2x — 5 = -x + 1; \quad x^2 — x — 6 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:} \quad x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2,
\)
\(
\quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3;
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 — 2x — 5 = x — 1; \quad x^2 — 3x — 4 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad \text{тогда:} \quad x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -1,
\)
\(
\quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 4;
\)

Ответ: \(-2; -1; 3; 4.\)

2) \(|x^2 + 6x — 16| = 8 — 4x\);

Первое уравнение:
\(
x^2 + 6x — 16 = -8 + 4x; \quad x^2 + 2x — 8 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \quad \text{тогда:} \quad x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4,
\)
\(
\quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 + 6x — 16 = 8 — 4x; \quad x^2 + 10x — 24 = 0;
\)

D = 10^2 + 4 \cdot 24 = 100 + 96 = 196, тогда:
\(
x_1 = \frac{-10 — 14}{2} = -12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2;
\)

Область определения:
\(
8 — 4x \geq 0; \quad 4x \leq 8; \quad x \leq 2;
\)

Ответ: \(-12; -4; 2.\)

3)
\(
\sqrt{2x^2 — 3x + 1} = \sqrt{x^2 + 2x — 3};
\)
\(
2x^2 — 3x + 1 = x^2 + 2x — 3; \quad x^2 — 5x + 4 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:} \quad x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 2x — 3 \geq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:} \quad x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3,
\)
\(
\quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\(
(x + 3)(x — 1) \geq 0; \quad x \leq -3, \quad x \geq 1;
\)

Ответ: \(1; 4.\)

4)
\(
2\sqrt{x + 5} = x + 2;
\)
\(
2\sqrt{x + 5} = (x + 2)^2;
\)
\(
4x + 20 = x^2 + 4x + 4; \quad x^2 = 16;
\)
\(
x = \pm 4;
\)

Область определения:
\(
x + 2 \geq 0; \quad x \geq -2;
\)
Ответ: \(4.\)

5)
\(
2^{8 — 2x^2} = 2^{x^2 — 1};
\)
\(
8 — 2x^2 = x^2 — 1; \quad 3x^2 — 9 = 0;
\)
\(
3x^2 = 9; \quad x^2 = 3; \quad x = \pm\sqrt{3};
\)

Ответ: \(-\sqrt{3}; \sqrt{3}.\)

6)
\(
\lg(x^2 + 2x — 10) = \lg(3x + 2);
\)
\(
x^2 + 2x — 10 = 3x + 2; \quad x^2 — x — 12 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \quad \text{тогда:} \quad x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -3,
\)
\(
\quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 4;
\)

Область определения:
\(
3x + 2 \geq 0; \quad x \geq -\frac{2}{3};
\)

Ответ: \(4.\)

1) Решим уравнение \( |x^2 — 2x — 5| = |x — 1| \).

Первое уравнение:
\( x^2 — 2x — 5 = -x + 1 \)
Приведем подобные:
\( x^2 — x — 6 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3 \)

Второе уравнение:
\( x^2 — 2x — 5 = x — 1 \)
Приведем подобные:
\( x^2 — 3x — 4 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 4 \)

Ответ: \(-2; -1; 3; 4\).

2) Решим уравнение \( |x^2 + 6x — 16| = 8 — 4x \).

Первое уравнение:
\( x^2 + 6x — 16 = -8 + 4x \)
Приведем подобные:
\( x^2 + 2x — 8 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

Второе уравнение:
\( x^2 + 6x — 16 = 8 — 4x \)
Приведем подобные:
\( x^2 + 10x — 24 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 10^2 + 4 \cdot 24 = 100 + 96 = 196 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-10 — 14}{2} = -12, \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2 \)

Область определения:
\( 8 — 4x \geq 0 \)
\( 4x \leq 8 \)
\( x \leq 2 \)

Ответ: \(-12; -4; 2\).

3) Решим уравнение \( \sqrt{2x^2 — 3x + 1} = \sqrt{x^2 + 2x — 3} \).

Уравняем подкоренные выражения:
\( 2x^2 — 3x + 1 = x^2 + 2x — 3 \)
Приведем подобные:
\( x^2 — 5x + 4 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

Область определения:
\( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Разложим на множители и решим неравенство:
\( (x + 3)(x — 1) \geq 0 \)
Решение:
\( x \leq -3, \quad x \geq 1 \)

Ответ: \( 1; 4 \).

4) Решим уравнение
\(
2\sqrt{x + 5} = x + 2.
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
2\sqrt{x + 5} = (x + 2)^2.
\)
Теперь раскроем скобки:
\(
4(x + 5) = x^2 + 4x + 4.
\)
Приведем подобные:
\(
4x + 20 = x^2 + 4x + 4.
\)
Упростим:
\(
x^2 = 16.
\)
Найдем корни:
\(
x = \pm 4.
\)

Область определения:
\(
x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5,
\)
\(
x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2.
\)
Таким образом, область определения:
\(
x \geq -2.
\)

Проверим корни:
Если \(x = -4\), то \(x + 5 = -4 + 5 = 1\), но \(2\sqrt{1} \neq -4 + 2\). Этот корень не удовлетворяет уравнению.
Если \(x = 4\), то \(x + 5 = 4 + 5 = 9\), и \(2\sqrt{9} = 4 + 2 = 6\). Этот корень подходит.

Ответ:
\(
x = 4.
\)

5) Решим уравнение
\(
2^{8 — 2x^2} = 2^{x^2 — 1}.
\)
Приравняем показатели степеней:
\(
8 — 2x^2 = x^2 — 1.
\)
Приведем подобные:
\(
3x^2 — 9 = 0.
\)
Упростим:
\(
x^2 = 3.
\)
Найдем корни:
\(
x = \pm\sqrt{3}.
\)

Ответ:
\(
x = -\sqrt{3}, \quad x = \sqrt{3}.
\)

6) Решим уравнение
\(
\lg(x^2 + 2x — 10) = \lg(3x + 2).
\)
Приравняем аргументы логарифмов:
\(
x^2 + 2x — 10 = 3x + 2.
\)
Приведем подобные:
\(
x^2 — x — 12 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\)
Найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 7}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4.
\)

Область определения:
\(
x^2 + 2x — 10 > 0 \quad \text{и} \quad 3x + 2 > 0.
\)
Рассмотрим \(3x + 2 > 0\):
\(
3x > -2 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{2}{3}.
\)

Проверим корни:
Если \(x = -3\), то \(3x + 2 = 3(-3) + 2 = -9 + 2 = -7\), а логарифм отрицательного числа не определен. Этот корень не подходит.
Если \(x = 4\), то \(x^2 + 2x — 10 = 16 + 8 — 10 = 14 > 0\), и \(3x + 2 = 12 + 2 = 14 > 0\). Этот корень подходит.

Ответ:
\(
x = 4.
\)