ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\sin(2x) + 3(\sin(x) + \cos(x)) + 1 = 0.
\)

Решить уравнение:

\(
\sin 2x + 3(\sin x + \cos x) + 1 = 0;
\)

1) Пусть \( y = \sin x + \cos x \), тогда:
\(
y^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x;
\)
\(
y^2 = \sin 2x + 1;
\)

2) Решения уравнения:
\(
y^2 + 3y = 0;
\)
\(
y(y + 3) = 0;
\)
\(
y_1 = -3, \quad y_2 = 0;
\)

3) Первое значение:
\(
\sin x + \cos x = -3;
\)
\(
x \text{ не существует (нет решений);}
\)

4) Второе значение:
\(
\sin x + \cos x = 0;
\)
\(
\tan x + 1 = 0;
\)
\(
\tan x = -1;
\)
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
-\frac{\pi}{4} + \pi n.
\)

Решить уравнение:

\(
\sin 2x + 3(\sin x + \cos x) + 1 = 0.
\)

Сначала воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
2 \sin x \cos x + 3(\sin x + \cos x) + 1 = 0.
\)

Теперь введём новую переменную \( y = \sin x + \cos x \). Тогда мы можем выразить \( \sin 2x \):

\(
y^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x.
\)

Согласно основной тригонометрической идентичности, мы имеем:

\(
y^2 = 1 + 2 \sin x \cos x,
\)

что позволяет записать:

\(
y^2 = \sin 2x + 1.
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
y^2 — 3y + 1 = 0.
\)

Решим это квадратное уравнение:

\(
y^2 + 3y + 1 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)

Таким образом, у нас есть два значения для \( y \):

1) \( y_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2} \)
2) \( y_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \)

Теперь рассмотрим первое значение:

\(
\sin x + \cos x = y_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}.
\)

Поскольку \( |\sin x + \cos x| \leq \sqrt{2} \), это значение не может быть достигнуто, следовательно, решений нет.

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\sin x + \cos x = y_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}.
\)

Для нахождения угла \( x \) мы используем следующее:

\(
\tan x = -1.
\)

Это означает, что:

\(
x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Таким образом, окончательный ответ будет:

\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)