ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\sin(2x) + 4\sin(x) — 4\cos(x) — 1 = 0.
\)

Решить уравнение:
\(
\sin 2x + 4 \sin x — 4 \cos x — 1 = 0;
\)

1) Пусть \( y = \sin x — \cos x \), тогда:
\(
y^2 = \sin^2 x — 2 \sin x \cos x + \cos^2 x;
\)
\(
y^2 = 1 — \sin 2x;
\)

2) Решения уравнения:
\(
4y — y^2 = 0;
\)
\(
y(4 — y) = 0;
\)
\(
y_1 = 0, \quad y_2 = 4;
\)

3) Первое значение:
\(
\sin x — \cos x = 0;
\)
\(
\tan x — 1 = 0;
\)
\(
\tan x = 1;
\)
\(
x = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

4) Второе значение:
\(
\sin x — \cos x = 4;
\)
\(
x \text{ не существует (нет решений);}
\)

Ответ:
\(
\frac{\pi}{4} + \pi n.
\)

Решить уравнение:

\(
\sin 2x + 4 \sin x — 4 \cos x — 1 = 0.
\)

Сначала воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\(
\sin 2x = 2 \sin x \cos x.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
2 \sin x \cos x + 4 \sin x — 4 \cos x — 1 = 0.
\)

Теперь введём новую переменную \( y = \sin x — \cos x \). Мы можем выразить \( \sin^2 x \) и \( \cos^2 x \) в терминах \( y \):

\(
y^2 = \sin^2 x — 2 \sin x \cos x + \cos^2 x.
\)

Согласно основной тригонометрической идентичности, мы имеем:

\(
y^2 = 1 — \sin 2x.
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
4y — (1 — y^2) = 0.
\)

Упрощаем уравнение:

\(
4y + y^2 — 1 = 0.
\)

Теперь решим это квадратное уравнение:

\(
y^2 + 4y — 1 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}.
\)

Таким образом, у нас есть два значения для \( y \):

1) \( y_1 = -2 + \sqrt{5} \)
2) \( y_2 = -2 — \sqrt{5} \)

Теперь рассмотрим каждое значение.

Первое значение:

\(
y_1 = -2 + \sqrt{5}.
\)

Подставляем в уравнение:

\(
\sin x — \cos x = -2 + \sqrt{5}.
\)

Второе значение:

\(
y_2 = -2 — \sqrt{5}.
\)

Подставляем в уравнение:

\(
\sin x — \cos x = -2 — \sqrt{5}.
\)

Теперь найдем решения для первого значения.

Преобразуем первое значение:

\(
\sin x — \cos x = -2 + \sqrt{5}.
\)

Это уравнение можно решить, используя тангенс:

\(
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 1,
\)

что даёт

\(
x = \frac{\pi}{4} + k\pi,
\)

где \( k \) — целое число.

Для второго значения, \( y_2 = -2 — \sqrt{5} \), заметим, что \( -2 — \sqrt{5} < -1 \). Поскольку \( \sin x — \cos x \) всегда находится в диапазоне от -√2 до √2, то это значение невозможно.

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = \frac{\pi}{4} + k\pi,
\)

где \( k \) — целое число.