ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

1)

\(
2 \cos\left(\frac{x^2 — 4x}{3}\right) = x^2 — 8x + 18;
\)

2)

\(
5 \sin(x) — 12 \cos(x) = x^2 — 2x + 14.
\)

1)
\(
2 \cos \frac{x^2 — 4x}{3} = x^2 — 8x + 18;
\)

Правая часть уравнения:
\(
x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4;
\)
\(
y_0 = 16 — 32 + 18 = 2;
\)
\(
x^2 — 8x + 18 \geq 2;
\)

Левая часть уравнения:
\(
2 \cos \frac{x^2 — 4x}{3} \leq 2;
\)
\(
2 \cos 0 = 2;
\)

Ответ: 4.

2)
\(
5 \sin x — 12 \cos x = x^2 — 2x + 14;
\)

Правая часть уравнения:
\(
x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;
\)
\(
y_0 = 1 — 2 + 14 = 13;
\)
\(
x^2 — 2x + 14 \geq 13;
\)

Левая часть уравнения:
\(
f'(x) = 5 \cos x + 12 \sin x = 0;
\)
\(
5 + 12 \tan x = 0;
\)
\(
\tan x = -\frac{5}{12}, \quad \sin x = \tan x \cdot \cos x = \frac{5}{13};
\)
\(
\cos x = -\sqrt{\frac{1}{\tan^2 x + 1}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};
\)
\(
f(x) = 5 \cdot \frac{5}{13} — 12 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{169}{13} = 13;
\)
\(
5 \sin x — 12 \cos x \leq 13;
\)
\(
5 \sin 1 — 12 \cos 1 \neq 13;
\)

Ответ: корней нет.

1)

\(
2 \cos \frac{x^2 — 4x}{3} = x^2 — 8x + 18;
\)

Правая часть уравнения:

Находим координаты вершины параболы \(y = x^2 — 8x + 18\):

\(
x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4;
\)

Теперь подставим \(x_0\) в уравнение, чтобы найти значение \(y_0\):

\(
y_0 = 4^2 — 8 \cdot 4 + 18 = 16 — 32 + 18 = 2;
\)

Теперь определим область, в которой \(x^2 — 8x + 18 \geq 2\):

\(
x^2 — 8x + 18 \geq 2 — x^2 — 8x + 16 \geq 0 — (x — 4)^2 \geq 0.
\)

Эта неравенство выполняется для всех \(x\), так как квадрат любого числа неотрицателен.

Левая часть уравнения:

Рассмотрим левую часть:

\(
2 \cos \frac{x^2 — 4x}{3} \leq 2.
\)

Максимальное значение функции \(2 \cos t\) равно \(2\), когда \(\cos t = 1\). Таким образом, это неравенство всегда выполняется.

Ответ: \(x = 4\).

2)

\(
5 \sin x — 12 \cos x = x^2 — 2x + 14;
\)

Правая часть уравнения:

Находим координаты вершины параболы \(y = x^2 — 2x + 14\):

\(
x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;
\)

Теперь подставим \(x_0\) в уравнение, чтобы найти значение \(y_0\):

\(
y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 14 = 1 — 2 + 14 = 13;
\)

Теперь определим область, в которой \(x^2 — 2x + 14 \geq 13\):

\(
x^2 — 2x + 14 \geq 13 — x^2 — 2x + 1 \geq 0 — (x — 1)^2 \geq 0.
\)

Это неравенство выполняется для всех \(x\).

Левая часть уравнения:

Рассмотрим производную функции:

\(
f'(x) = 5 \cos x + 12 \sin x = 0.
\)

Решаем это уравнение:

\(
5 + 12 \tan x = 0 — \tan x = -\frac{5}{12}.
\)

Используя тригонометрические соотношения, найдем синус и косинус:

\(
\sin x = \tan x \cdot \cos x.
\)

Если положить \(\cos x = k\), тогда:

\(
\tan x = -\frac{5}{12} — \sin x = -\frac{5}{12}k.
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:

\(
k^2 + \left(-\frac{5}{12}k\right)^2 = 1.
\)
\(
k^2 + \frac{25}{144}k^2 = 1 — k^2(1 + \frac{25}{144}) = 1.
\)
\(
k^2(\frac{169}{144}) = 1 — k^2 = \frac{144}{169} — k = -\frac{12}{13}.
\)

Теперь подставим найденные значения в функцию:

\(
f(x) = 5 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) — 12 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{119}{13}.
\)

Теперь проверяем неравенство:

\(
5 \sin x — 12 \cos x \leq 13.
\)
Проверяем при \(x=1\):

\(
5 \sin(1) — 12 \cos(1) \neq 13.
\)

Ответ: корней нет.