ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

1)

\(
\sin\left(\frac{\pi x}{6}\right) = x^2 — 6x + 10;
\)

2)

\(
\sin(2x) = x — x^2 — 1.
\)

Решить уравнение:

1)
\(
\sin \frac{\pi x}{6} = x^2 — 6x + 10;
\)

Правая часть уравнения:
\(
x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\)
\(
y_0 = 9 — 18 + 10 = 1;
\)
\(
x^2 — 6x + 10 \geq 1;
\)

Левая часть уравнения:
\(
\sin \frac{\pi x}{6} \leq 1;
\)
\(
\sin \frac{\pi \cdot 3}{6} = \sin \frac{\pi}{2} = 1;
\)

Ответ: 3.

2)
\(
\sin 2x = x — x^2 — 1;
\)

Правая часть уравнения:
\(
x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2};
\)
\(
y_0 = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} — 1 = -\frac{3}{4};
\)
\(
x — x^2 — 1 \leq -\frac{3}{4};
\)

На отрезке [0; 1]:
\(
f(0) = 0 — 0^2 — 1 = -1;
\)
\(
f(1) = 1 — 1^2 — 1 = -1;
\)
\(
-1 \leq x — x^2 — 1 \leq -\frac{3}{4};
\)
\(
0 \leq \sin 2x \leq 1;
\)

Ответ: корней нет.

Задача 1

Дано уравнение:
\(
\sin \frac{\pi x}{6} = x^2 — 6x + 10.
\)

Рассмотрим правую часть уравнения, которая является квадратичной функцией:
\(
f(x) = x^2 — 6x + 10.
\)

Найдём вершину параболы \(f(x)\). Координата вершины по оси \(x\) вычисляется по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3,
\)
где \(a = 1\), \(b = -6\).

Подставим \(x_0 = 3\) в функцию, чтобы найти значение в вершине:
\(
y_0 = f(3) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 10 = 9 — 18 + 10 = 1.
\)

Так как парабола направлена вверх (\(a > 0\)), то
\(
f(x) \geq 1 \quad \text{для всех } x.
\)

Левая часть уравнения — синус, который по определению принимает значения от \(-1\) до \(1\):
\(
\sin \frac{\pi x}{6} \in [-1, 1].
\)

Для того чтобы уравнение имело решение, правая часть должна принимать значения в диапазоне \([-1, 1]\). Мы выяснили, что
\(
x^2 — 6x + 10 \geq 1,
\)
то есть минимальное значение правой части равно 1.

Проверим, при каком \(x\) синус равен 1:
\(
\sin \frac{\pi x}{6} = 1 — \frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Для основного решения при \(k=0\):
\(
\frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{2} — x = 3.
\)

Подставим \(x=3\) в правую часть:
\(
3^2 — 6 \cdot 3 + 10 = 9 — 18 + 10 = 1,
\)
что совпадает с левой частью.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение:
\(
x = 3.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
\sin 2x = x — x^2 — 1.
\)

Рассмотрим правую часть уравнения:
\(
g(x) = x — x^2 — 1.
\)

Найдём вершину параболы \(g(x)\). Координата вершины по оси \(x\) вычисляется как:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2},
\)
где \(a = -1\), \(b = 1\).

Вычислим значение функции в вершине:
\(
y_0 = g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} — \left(\frac{1}{2}\right)^2 — 1 = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} — 1 = -\frac{3}{4}.
\)

Поскольку \(a = -1 < 0\), парабола направлена вниз, и максимум функции равен \(-\frac{3}{4}\). Значит:
\(
x — x^2 — 1 \leq -\frac{3}{4}.
\)

Проверим значения функции на концах отрезка \([0, 1]\):
\(
f(0) = 0 — 0^2 — 1 = -1,
\)
\(
f(1) = 1 — 1^2 — 1 = -1.
\)

Таким образом, на отрезке \([0,1]\) функция \(g(x)\) принимает значения от \(-1\) до \(-\frac{3}{4}\).

Левая часть уравнения — синус, который всегда удовлетворяет неравенству:
\(
-1 \leq \sin 2x \leq 1.
\)

Для существования решения необходимо, чтобы значения правой части попадали в диапазон значений синуса. Однако, так как
\(
x — x^2 — 1 \leq -\frac{3}{4} < 0,
\)
а синус на отрезке \([0,1]\) принимает значения в пределах от 0 до 1 (так как \(2x \in [0,2]\) и \(\sin t \geq 0\) на \([0, \pi]\)), то
\(
0 \leq \sin 2x \leq 1,
\)
а правая часть отрицательна.

Это означает, что уравнение
\(
\sin 2x = x — x^2 — 1
\)
не имеет решений на отрезке \([0,1]\).