ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

1)

\(
\cos(2x) + \cos\left(\frac{3x}{4}\right) = 2;
\)

2)

\(
\sin\left(\frac{5x}{2}\right) + \cos(6x) = 2.
\)

1)
\(
\cos 2x + \cos \frac{3x}{4} = 2;
\)

\(
\cos 2x \leq 1, \quad \cos \frac{3x}{4} \leq 1;
\)

\(
\cos 2x = 1, \quad \cos \frac{3x}{4} = 1;
\)

\(
2x = 2\pi n, \quad \frac{3x}{4} = 2\pi n;
\)

\(
x = \pi n, \quad x = \frac{8\pi n}{3};
\)

Ответ: \(8\pi n\).

2)
\(
\sin \frac{5x}{2} + \cos 6x = 2;
\)

\(
\sin \frac{5x}{2} \geq 1, \quad \cos 6x \geq 1;
\)

\(
\sin \frac{5x}{2} = 1, \quad \cos 6x = 1;
\)

\(
\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad 6x = 2\pi n;
\)

\(
x = \frac{\pi}{5} + \frac{4\pi n}{5}, \quad x = \frac{\pi n}{3};
\)

Ответ: \(\pi + 4\pi n\).

Задача 1

Дано уравнение:
\(
\cos 2x + \cos \frac{3x}{4} = 2.
\)

Максимальное значение функции косинуса равно 1, то есть:
\(
\cos 2x \leq 1, \quad \cos \frac{3x}{4} \leq 1.
\)

Чтобы сумма косинусов была равна 2, необходимо, чтобы оба косинуса принимали максимальное значение одновременно:
\(
\cos 2x = 1, \quad \cos \frac{3x}{4} = 1.
\)

Решаем каждое уравнение:
\(
\cos \theta = 1 — \theta = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Для первого косинуса:
\(
2x = 2\pi n — x = \pi n.
\)

Для второго косинуса:
\(
\frac{3x}{4} = 2\pi m — x = \frac{8\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}.
\)

Чтобы найти общие решения, нужно найти такие \(x\), которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. То есть решить систему:
\(
x = \pi n,
\)
\(
x = \frac{8\pi m}{3}.
\)

Приравниваем:
\(
\pi n = \frac{8\pi m}{3} — 3n = 8m.
\)

Пусть \(n = 8k\), тогда \(m = 3k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Подставляем обратно:
\(
x = \pi n = \pi \cdot 8k = 8\pi k.
\)

Ответ:
\(
x = 8\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
\sin \frac{5x}{2} + \cos 6x = 2.
\)

Максимальное значение синуса и косинуса равно 1, следовательно:
\(
\sin \frac{5x}{2} \leq 1, \quad \cos 6x \leq 1.
\)

Для того, чтобы сумма была равна 2, оба слагаемых должны быть равны 1 одновременно:
\(
\sin \frac{5x}{2} = 1, \quad \cos 6x = 1.
\)

Решаем первое уравнение:
\(
\sin \theta = 1 — \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Значит:
\(
\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — 5x = \pi + 4\pi n — x = \frac{\pi}{5} + \frac{4\pi n}{5}.
\)

Решаем второе уравнение:
\(
\cos \phi = 1 — \phi = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}.
\)

Значит:
\(
6x = 2\pi m- x = \frac{\pi m}{3}.
\)

Для общего решения нужно, чтобы \(x\) одновременно удовлетворял обоим уравнениям, то есть:
\(
\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi n}{5} = \frac{\pi m}{3}.
\)

Домножим обе части на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5):
\(
3\pi + 12\pi n = 5\pi m.
\)

Упростим:
\(
3 + 12 n = 5 m.
\)

Это уравнение в целых числах \(n, m\). Решая его, можно выразить \(m\) через \(n\):
\(
m = \frac{3 + 12 n}{5}.
\)

Для \(m\) целого, числитель должен делиться на 5. Можно подобрать \(n\) так, чтобы это было верно.

Например, при \(n = 1\):
\(
3 + 12 \cdot 1 = 15,
\)
что делится на 5, и \(m = 3\).

Таким образом, общее решение можно записать как:
\(
x = \frac{\pi}{5} + \frac{4\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Или, учитывая периодичность, ответ можно представить в виде:
\(
x = \pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)