ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

1)

\(
\cos\left(\frac{11x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{4}\right) = 1;
\)

2)

\(
\sin(2x) — \sin(6x) = -2.
\)

Решить уравнение:

1)
\(
\cos \frac{11x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} = 1;
\)

\(
\cos \frac{11x}{2} \leq 1, \quad \cos \frac{x}{4} \leq 1;
\)

\(
\cos \frac{11x}{2} = 1, \quad \cos \frac{x}{4} = 1;
\)

\(
\frac{11x}{2} = 2\pi n, \quad \frac{x}{4} = 2\pi n;
\)

\(
x = \frac{4\pi n}{11}, \quad x = 8\pi n;
\)

Ответ:
\(
8\pi n.
\)

2)
\(
\sin 2x — \sin 6x = -2;
\)

\(
\sin 2x \geq -1, \quad \sin 6x \leq 1;
\)

\(
\sin 2x = -1, \quad \sin 6x = 1;
\)

\(
2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};
\)

\(
x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi n, \quad x = \frac{\pi}{12} + 4\pi n \cdot \frac{1}{3};
\)

Ответ:
\(
\frac{3\pi}{4} + \pi n.
\)

1)

\(
\cos \frac{11x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} = 1.
\)

Максимальное значение функции \(\cos t\) равно \(1\). Таким образом, чтобы произведение двух косинусов было равно \(1\), необходимо, чтобы оба косинуса равнялись \(1\):

\(
\cos \frac{11x}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \cos \frac{x}{4} = 1.
\)

Решим первое уравнение:

\(
\cos \frac{11x}{2} = 1 — \frac{11x}{2} = 2\pi n — x = \frac{4\pi n}{11},
\)

где \(n\) — целое число.

Теперь решим второе уравнение:

\(
\cos \frac{x}{4} = 1 — \frac{x}{4} = 2\pi m — x = 8\pi m,
\)

где \(m\) — целое число.

Таким образом, у нас есть два решения:

1) \(x = \frac{4\pi n}{11}\),
2) \(x = 8\pi m\).

Ответ:

\(
x = 8\pi m.
\)

2)

\(
\sin 2x — \sin 6x = -2.
\)

Максимальное значение функции \(\sin t\) равно \(1\), а минимальное значение равно \(-1\). Таким образом, для разности двух синусов, чтобы равенство было равно \(-2\), необходимо, чтобы:

\(
\sin 2x = -1 \quad \text{и} \quad \sin 6x = 1.
\)

Решим первое уравнение:

\(
\sin 2x = -1 — 2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n — x = \frac{3\pi}{4} + \pi n,
\)

где \(n\) — целое число.

Теперь решим второе уравнение:

\(
\sin 6x = 1 — 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m — x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3},
\)

где \(m\) — целое число.

Таким образом, у нас есть два решения:

1) \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi n\),
2) \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{3}\).

Теперь приведем оба выражения к общему виду:

Для первого решения:

\(
x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi n,
\)

где \(n\) — целое число.

Для второго решения:

\(
x = \frac{\pi}{12} + 4\pi m \cdot \frac{1}{3}.
\)

Ответ:

\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n.
\)