ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
(2x — x^2) \log_3 \left(2 \sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 1\right) = 1.
\)

Решить уравнение:
\(
(2x — x^2) \log_3 \left( 2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \right) = 1;
\)

1) Первый множитель:
\(
x_0 = \frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1;
\)
\(
y_0 = 2 — 1 = 1;
\)
\(
2x — x^2 \leq 1;
\)

2) Второй множитель:
\(
2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \leq 3;
\)
\(
\log_3 \left( 2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \right) \leq 1;
\)
\(
\log_3 \left( 2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \right) = \log_3 3 = 1;
\)

Ответ:
\(
1.
\)

Решить уравнение:

\(
(2x — x^2) \log_3 \left( 2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \right) = 1.
\)

Для решения данного уравнения мы рассмотрим два множителя.

1) Первый множитель:

Необходимо, чтобы \(2x — x^2\) был положительным, так как логарифм определен только для положительных аргументов.

Решим неравенство:

\(
2x — x^2 > 0.
\)

Перепишем его в стандартной форме:

\(
-x^2 + 2x > 0 — x(2 — x) > 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда \(x < 0\) или \(x > 2\). Однако, поскольку \(x(2 — x) = 0\) при \(x = 0\) и \(x = 2\), находим:

\(
x_0 = 0 \quad \text{и} \quad x_0 = 2.
\)

Также необходимо учитывать, что \(x\) должно быть в пределах допустимых значений для логарифма.

Теперь найдем значение при \(x = 1\):

\(
y_0 = 2 — 1 = 1.
\)

Таким образом, получаем:

\(
2x — x^2 \leq 1.
\)

2) Второй множитель:

Теперь рассмотрим второй множитель:

\(
2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \leq 3.
\)

Решим неравенство:

\(
2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} \leq 2 — \sin^2 \frac{\pi x}{2} \leq 1.
\)

Это неравенство всегда выполняется, так как максимальное значение \(\sin^2 t\) равно \(1\).

Теперь рассмотрим логарифм:

\(
\log_3 \left( 2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \right) \leq 1.
\)

Это неравенство эквивалентно:

\(
2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \leq 3.
\)

Уже было доказано, что это условие выполняется. Теперь равенство:

\(
\log_3 \left( 2 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1 \right) = \log_3 3 = 1.
\)

Таким образом, получаем:

Ответ:

\(
1.
\)