ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
4^{-|x + 1|} \cdot \log_3 \left( 2 — 2x — x^2 \right) = 1.
\)

Решить уравнение:
\(
4^{-|x+1|} \log_3 (2 — 2x — x^2) = 1;
\)

1) Второй множитель:
\(
x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = -1;
\)
\(
y_0 = 2 + 2 — 1 = 3;
\)
\(
(2 — 2x — x^2) \leq 3;
\)
\(
\log_3 (2 — 2x — x^2) \leq 1;
\)

2) Первый множитель:
\(
-|x+1| \leq 0;
\)
\(
4^{-|x+1|} \leq 1;
\)
\(
4^{-| -1 + 1|} = 4^0 = 1;
\)

Ответ:
\(
-1.
\)

Решить уравнение:

\(
4^{-|x+1|} \log_3 (2 — 2x — x^2) = 1.
\)

Для решения данного уравнения рассмотрим два множителя.

1) Второй множитель:

Сначала найдем значение, при котором логарифм определен. Для этого необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным:

\(
2 — 2x — x^2 > 0.
\)

Перепишем это неравенство в стандартной форме:

\(
-x^2 — 2x + 2 > 0 — — (x^2 + 2x — 2) > 0.
\)

Решим квадратное уравнение \(x^2 + 2x — 2 = 0\) с помощью дискриминанта:

\(
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
\)

Корни уравнения:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}.
\)

Таким образом, корни:

\(
x_1 = -1 — \sqrt{3}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{3}.
\)

Теперь определим промежутки, где \(2 — 2x — x^2 > 0\). Это неравенство выполняется между корнями:

\(
-1 — \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}.
\)

Теперь найдем значение при \(x = -1\):

\(
y_0 = 2 — 2(-1) — (-1)^2 = 2 + 2 — 1 = 3.
\)

Таким образом, для логарифма:

\(
\log_3 (2 — 2x — x^2) \leq 1.
\)

Это означает:

\(
2 — 2x — x^2 \leq 3.
\)

Решим это неравенство:

\(
-2x — x^2 \leq 1 — — (x^2 + 2x — 1) \leq 0.
\)

Таким образом, необходимо решить неравенство \(x^2 + 2x — 1 \geq 0\).

Находим корни:

\(
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8.
\)

Корни уравнения:

\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.
\)

Таким образом, корни:

\(
x_1 = -1 — \sqrt{2}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{2}.
\)

Неравенство выполняется вне промежутков:

\(
(-\infty, -1 — \sqrt{2}] \cup [-1 + \sqrt{2}, +\infty).
\)

Теперь рассмотрим первый множитель:

\(
-|x+1| \leq 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда \(x + 1 \geq 0\), то есть:

\(
x \geq -1.
\)

Следовательно, рассматриваем неравенство:

\(
4^{-|x+1|} \leq 1.
\)

Это выполняется для всех \(x + 1 \geq 0\), то есть при \(x \geq -1\).

Теперь подставим значение \(x = -1\):

\(
4^{-| -1 + 1|} = 4^0 = 1.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
-1.
\)