ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
5^{3 — x} = 2^x + 1.
\)

Решить уравнение:
\(
5^{3 — x} = 2^x + 1;
\)

Функция \(f(x) = 5^{3 — x}\) убывает;
Функция \(g(x) = 2^x + 1\) возрастает;

Есть только одно решение:
\(
f(2) = 5^{3 — 2} = 5^1 = 5;
\)
\(
g(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5;
\)

Ответ: 2.

Решить уравнение:

\(
5^{3 — x} = 2^x + 1.
\)

Определим функции:

\(
f(x) = 5^{3 — x}, \quad g(x) = 2^x + 1.
\)

Функция \(f(x)\) является убывающей, так как показатель степени \(3 — x\) уменьшается при увеличении \(x\). Это означает, что при увеличении \(x\) значение функции \(f(x)\) будет уменьшаться.

Функция \(g(x)\) является возрастающей, так как \(2^x\) возрастает при увеличении \(x\). Таким образом, значение функции \(g(x)\) будет увеличиваться с увеличением \(x\).

Поскольку \(f(x)\) убывает, а \(g(x)\) возрастает, уравнение может иметь только одно решение. Найдем это решение, подставив значение \(x = 2\):

\(
f(2) = 5^{3 — 2} = 5^1 = 5,
\)
\(
g(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5.
\)

Таким образом, при \(x = 2\) мы получаем:

\(
f(2) = g(2).
\)

Это подтверждает, что \(x = 2\) является решением уравнения.

Ответ:

\(
2.
\)